f(x)=1(0<x<1),0(それ以外)とするとき、 fのフーリエ変換とf×fのフーリエ変換を求め

f(x)=1(0<x<1),0(それ以外)とするとき、
fのフーリエ変換とf×fのフーリエ変換を求めよという問題が分からないので教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/19 19:49

f(x)f(y) を二次元フーリエ変換とかかな...

F(ω)F(ξ) になるだけだけど。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/18 22:47

g(x) = (1/2)(-1<x<1),0(それ以外)

とすると
　　f(t) = 2g((x -1)/2)
と表せて、gのフーリエ変換Gは（ご承知でないとヤバいが）
　　G(ω) = sinc(ω)
になる。

　一方、一般にgが何であれ
　　f(x)=a g(bx+c)
のフーリエ変換は変数変換 t = bx+c をやればいいんで
　　F(x) = ∫{-∞〜∞} f(x) e^(-iωx) dx
　　= (a/b) ∫{-∞〜∞} g(t) e^(-iω(t-c)/b) dt
　　= (a/b) (e^(-icω/b)) ∫{-∞〜∞} g(t) e^(-i(ω/b)t) dt
　　= (a/b) (e^(-icω/b)) G(ω/b)

> f×fのフーリエ変換

をH(ω)とし、f(x)のフーリエ変換をF(ω)とするとき、"×"がどういう意味なんだかさっぱり分からんが、もしかして
(1) f×fがf(f(x)) というツモリなら、どんなxについてもf(f(x))=0だから
　　H(ω)=0
(2) f×fが(f(x))^2 というツモリなら、どんなxについても(f(x))^2=f(x)だから
　　H(ω)=F(ω)
(3) f×fがfとfの畳み込み積というツモリなら、convolution定理により
　　H(ω)=(F(ω))^2

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/18 20:28

0<x<1のときf(x)=1

x≦0.or.x≧1のときf(x)=0

F(t)
=∫_{-∞～∞}f(x)e^(-2πixt)dx
=∫_{0～1}e^(-2πixt)dx

F(0)=1

t≠0のとき
F(t)
=[ie^(-2πixt)/(2πt)]_{0～1}
=i(e^{-2πit}-1)/(2πt)
=i{cos(2πt)-isin(2πt)-1}/(2πt)
=(sin(2πt)-i{1-cos(2πt)})/(2πt)