イプシロンデルタ論法の定義についてですが、写真の青線部がわからないです。 0<を除いて|x-a|<δ

イプシロンデルタ論法の定義についてですが、写真の青線部がわからないです。
0<を除いて|x-a|<δや、0<を加えて0<|f(x)-P|<εというような表記はできないのでしょうか？
|x-a|<δ→|f(x)-P|もしくは0<|x-a|<δ→0<|f(x)-P|<εと0<を統一？させないのはなぜですか？解説お願いします。

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/09 12:53

私は大学は数学科ではないが数学が好きなもので皆さんの答えから思うに

まずεーδ論法とは極限を使っている点からして
δとは0に限りなく近い値で
εとは0に近いある定数という意味あいがします　その上で
x→a とは　x-a →　±０　であり　|x-a| →０ と同値であり
0<|x-a|<δ　とも同値と思います。
一方 δ　の方は　収束という観点からして
f(x)がPに収束するには
‐ δ<f(x)-P< +δ　つまり　|f(x)-P|<ε　という意味でしょう！
文系には悪いがそんな発想はやめて数学の本質を理解しましょう！

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/08 19:59

0<|f(x)-P|<ε だと 定数関数の極限が発散してしまいます。

流石に受け入れ難い定義だと思います。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/08 19:34

>f(x)=0(x≠0),1(x=1)

>でlim[x→0]f(x)がどうなるか考えてみよう。

これを発散すると結論する解析学も有ります。
どちらも間違いじゃ無い。
定義が異なれば異なる結果になるだけです。

No.6 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/08 18:13

一番単純な例で説明する。

f(x)=0(x≠0),1(x=1)

でlim[x→0]f(x)がどうなるか考えてみよう。

この極限値が0になることはわかると思うが、
|x-0|<δとなるすべてのxに対して|f(x)-0|<0.5が成り立つだろうか?
どのような0<|x-0|<δに対しても0<|f(x)-0|<εとなることができるだろうか?

前者はどのようなδ>0を持ってきてもx=0は|x-0|<δに含まれるがこの時|f(0)-0|=1となり成り立たない。
後者はどのようなδ>0であってもx≠0であるため必ず|f(x)-0|=0となってしまいやはり成り立たない。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/08 18:04

両方とも 0< が付かない流派はありますね。

杉浦の解析学
結構無視できない勢力を保ってます。
合成関数の微分の証明とか楽になるけど、孤立点が連続とか
普通の解析学と違った答えが得られます(^^;

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/08 16:41

例えば

f(x)=xsin(1/x)

のとき

任意のε>0に対して

δ=ε
とすると

0<|x|<δ　
となる任意のxに対して

|f(x)|=|xsin(1/x)|≦|x|<δ=ε
だから

|f(x)|<ε

n>1/(δπ)となる自然数nがある
x=1/(nπ)とすると
0<x=1/(nπ)<δ
で
|f(x)|=|f(1/(nπ))|=|(1/(nπ))sin(nπ)|=0
だから
|f(x)|=0となることもあるから

0<|f(x)|<εは間違い

|f(x)|<ε
でなければならない

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/08 15:10

イプシロンデルタ論法が間違ってるにょ。

∀ε>0, ∃δ>0 s.t. ∀x, 0<｜x-a｜<δ ⇒ ｜f(x)-P｜<ε でないとね。
命題と述語の区別はついてる？

0<｜x-a｜<δ を ｜x-a｜<δ に置き換えてしまうと、
f(a) が定義されてないときに lim[x→a] f(x) を定義することができなくなるから
ダメ。

｜f(x)-P｜<ε を 0<｜f(x)-P｜<ε で置き換えてしまうと、
例えば f(x) が定数関数 P のとき lim[x→a] f(x) が収束しなくなるから
ダメ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/08 14:21

例えば

f(x)=xsin(1/x)

のとき

0<|x|<δ　

|f(x)|<ε

0<x=1/(2nπ)<δ

のとき

f(1/(2nπ))=(1/(2nπ))sin(2nπ)=0

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/08 14:14

「任意の正の数εに対し、ある適当な正の数δが存在して、0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数xに対し、|f(x) − b| < ε が成り立つ。

」
と言う意味に使うから。

「x=aの時f(x)=P」なら単に関数f(x)のx=aの関数値を説明してるだけ。
極限なのだから、xがaに限りなく近付いた場合と言う必要がある。
だから|x − a|< δに　0<を付ける。

また、xがaに限りなく近付いた場合にぴったりf(x)=Pになる様な関数が在る可能性があるから|f(x) − b| < ε　に0<を付けない。