有効数字の計算の理由 有効数字の掛け算の場合 2桁×3桁だと答えは2桁にしますが、なぜですか？ より

有効数字の計算の理由

有効数字の掛け算の場合
2桁×3桁だと答えは2桁にしますが、なぜですか？
より正確？にでると聞いた気がしますが
なぜ正確にでるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/19 23:29

有効数字の意味を知っていますか？

要するに「誤差論」です。

詳しくは、下記のような「誤差伝播」の考え方を理解しましょう。
↓
https://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/ishijima/gosa …

単純化した話をすれば
・有効数字2桁とは
　9.9 ± 0.05（正確には -0.05～+0.049999･･･）
　の３桁目を四捨五入したもの
・有効数字3桁とは
　9.99 ± 0.005（正確には -0.005～+0.0049999･･･）
　の４桁目を四捨五入したもの
という数値と考えます。

それをかけ算すれば

　(9.9 ± 0.05) * (9.99 ± 0.005)
= 98.901 ± 0.4995 ± 0.0495 + 0.00025
≒ 98.901 ± 0.549

つまり
　98.352～99.45
の間に真値がありそうということで、
　おおよそ 99 ぐらい
というのが妥当だということが分かりますよね。
それ以上の桁を議論しても、誤差の範囲なのであまり意味がありません。

結果的に
　9.9 * 9.99 = 98.901 ≒ 99
ということで、「3桁目を四捨五入した程度の確からしさしかない」ということとほぼ等価なので、そういう取り扱いをしようというのが「有効数字」です。

（上の議論は、本当は「ランダムなばらつきは正規分布する」として統計的な取り扱いをしないといけないので、「概算」と考えてください。）

「有効数字」は、あくまで「高校生までの簡易的は誤差評価」ということであり、大学生以上や一般の学術論文では上のような厳密な誤差評価をしないと笑われます。

下記のような解説を読んでみてください。
「ここで説明するのは高校までに習う暫定的な簡易ルール。
大学生以上は使用禁止？！」
と書かれています。
↓
https://eman-physics.net/math/figures.html