代数的数の分類

整数は0次の整数係数方程式の解と思うことができます
有理数は0 or 1次の整数係数方程式の解と思うことができます
代数的数は有限次の整数係数方程式の解と思うことができます
この間に2,3,・・・次の整数係数方程式の解についての代数的位置付けはどのような形で示されているのでしょうか
あまり、議論するようなことでもないのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： 31415926 回答日時： 2005/06/07 19:30

特定の次数の代数的数に関しては，2次代数的数と

循環連分数とが対応するというLagrangeの定理が知られています．

しかし一方，「n次(以下の)代数的数全体」というのは足し算で閉じて
いないので(√２，√３は共に２次代数的数であるが√２＋√３は
４次代数的数になる!), 数の体系としてはよいものとは言えないです．
(次数を限らずに代数的数全体としておくと，これは足し算，掛け算で
閉じています．)

この回答へのお礼

ありがとうございます
Lagrangeの定理：勉強になりました

演算に閉じなくなることがあると、スッキリ理解するのは難しそうですね

ところで
２次代数的数全体⊆Ｑ＋Ｑ√Ｚ　は直ぐ分りますが
逆は正直言って分りません
多分、成り立たないような気がします

お礼日時：2005/06/09 19:44

No.2 回答者： fsfs 回答日時： 2005/06/10 23:11

＞２次代数的数全体⊆Ｑ＋Ｑ√Ｚ

の逆もすぐわかると思います。
x=a+√b なら
(x-a)＾２＝ｂ
x^2-2ax+a^2-b=0
よりｘは2次代数的数。

この回答へのお礼

ありがとうございます
＞２次代数的数全体⊆Ｑ＋Ｑ√Ｚの逆もすぐわかると思います。
そうですよね^^;
n次の代数的数全体をZ_nと表すと
z_0:=Z (定義)
z_1=Q
z_2=Q+√Q
が成り立つことが分りました

また、z_nをz_0からどう生成されるかというのが一つの課題になりました
ガロア理論から四則と根基の有限個の組合せだけでは無理だと思いますが

また　z_n⊆z_(n+1)　は明らかです

お礼日時：2005/06/10 23:37