円の方程式？円の関数じゃないの？

数学IIの単元で「円の方程式」というものがありますが、なぜ円の"関数"ではなく、"方程式"というのでしょうか？

方程式→解くもの(例：2次方程式、連立方程式)
関数→グラフに描くもの(例：二次関数、指数関数)
というイメージがあるので、ものすごい違和感があります。

どなた様か納得のできる回答を頂けませんでしょうか？
宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/07 17:14

「円の方程式」と呼ぶ理由は、その方程式の解であるような(x, y)を座標とする平面上の点の集まりが、円だからです。

関数は実数などの各値に別の1つの値を対応させるルールです。

例えば二次関数f(x)=x^2は各実数xに実数x^2を対応させます。
この関数fのグラフは、y=x^2を満たす(x, y)を座標とする平面上の点の集まりです。
だから、y=x^2を「放物線の方程式」と呼んでもいいと思います。
またfを「放物線の関数」と呼んでも通じる気はします。

しかし例えば原点を中心とする半径1の円の方程式は
x^2+y^2=1
つまり
y=√(1-x^2)またはy=-√(1-x^2)
ですから、x (-1≦x≦1)を変数とする関数の式と見なそうとしても、各x（-1<x<1）について2つ値を持つため厳密には関数ではありません。
しかし例えば
y=√(1-x^2)
だけなら「上半円の方程式」とでも呼ぶべきものであるしf(x)=√(1-x^2)は「上半円の関数」と呼んでもいいかもしれません。

この回答へのお礼

関数は機能(function)であり、方程式は文字通り"式"というわけですね。
全くの別概念であることが理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/03/07 19:40

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/03/07 18:24

こんばんわ。

＞方程式→解くもの(例：2次方程式、連立方程式)
＞関数→グラフに描くもの(例：二次関数、指数関数)

「関数」はグラフに描くものというよりも、
ある変数：xの値を代入すると、その値に対応した値：yを導き出すもの
（単純に言えば、1対1対応になっているもの）
その対応関係を表しています。
中学校の授業で「関数」の最初にそういう話があったかと思います。

次に、グラフを描くことを考えます。
グラフというのは「点の集まり」になります。
そして、その点（の座標）が満たしている式が「方程式」になります。
「x, yが満たすべき式が方程式」とでもいえばいいでしょうか。

直線や円、放物線というのは、すべて図形の名前になっています。
つまり、このような図形の上にある点が満たすべき式は「方程式」と呼ばれます。
「直線の方程式」とも言ってますよね。


最後に、y＝・・・のように書き下せる関数を「陽関数」と呼びます。
これに対して、y^2＝ 4- x^2のように明らかに y＝・・・の形にできないものは「陰関数」と呼ばれます。
ですので、まったく「関数」と呼ばないわけでもありませんが。

No.3 回答者： eeb33585 回答日時： 2011/03/07 17:18

数学用語の定義によれば

関数：独立変数Xの値が決まると、従属変数Yの値が決まるとき、YはXの関数という。
　　　(例)Y=X+1・・・一般的にはY=f(X)で表す
方程式：未知数を含む等式を方程式という。
　　　(例)X^2+Y^2=R^2
　　　(注意)似かよった形をしていても、独立変数Xと従属変数Yの関係を見たい場合もある
　　　　　　例えば上の方程式を変形して、Y=±√(R^2-X^2)を関数という。

No.1 回答者： FEX2053 回答日時： 2011/03/07 16:54

関数とは f(x) などと、データを変換して別の値にするものですが、円の方程式は X^2+Y^2=1 というように f(x) の形を「見掛け上」取っていないからだと思います。

関数とグラフは、数学の定義上は全く関係ないものです。たまたま２次関数とかはグラフに書けますが、高次関数などはグラフに書けませんので。