数学得意な方お願いします 高1です。ユークリッドの互除法と一次不定方程式でつまりました...一次不定

数学得意な方お願いします
高1です。ユークリッドの互除法と一次不定方程式でつまりました...一次不定方程式は理解しているのですが、ユークリッドを使った一次不定方程式がわかりません。
なぜ最大公約数を求める段階で答えがでるのか、なぜユークリッドを使うと解が出るのか、
どなたかわかりやすくお願いします。
例題として青茶の
19x -24y＝1を載せておきます。

質問者からの補足コメント

• 説明出来ないので質問しています。
  では、この例題を一つ一つ噛み砕いて解いて欲しいです。
  次の方程式の整数解をユークリッドの互除法を用いて全て求めよ
  19x -24y＝1

    補足日時：2020/09/21 19:28

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/21 19:40

ユークリッドの互除法を使った1次不定方程式の解き方は以下の通り。

まずは 19x-24y=1 のx,yの係数に対してユークリッドの互除法を使用する。
※符号はいったん無視する。
24÷19=1余り5 ⇒ 5=24-19×1 …(a)
19÷5=3余り4 ⇒ 4=19-5×3 …(b)
5÷4=1余り1 ⇒ 1=5-4×1 …(c)

(b)を(c)に代入すると、
1=5-(19-5×3)×1
=5×3×1+5-(19×1)
=5×3+5-(19×1)
=(5×4)-(19×1) …(d)

(a)を(d)に代入すると、
1=(24-19×1)×4-(19×1)
=(24×4)-(19×1)×4-(19×1)
=(24×4)-(19×1)×5
=(24×4)-(19×5)
=(19×(-5))-(24×(-4))

よって、x=-5, y=-4が1次不定方程式 19x-24y=1 に対してユークリッドの互除法を使用した時の解になる。

この回答へのお礼

よくわかりました！ありがとうございます

お礼日時：2020/09/21 20:00

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/09/21 19:29

19x -24y＝1を満たす様な、(x､y)の組を1個見つけるのに、試行錯誤で色々やるのが面倒だから、ユークリッドの互除法を使って1個求める。

と言う事。

(x､y)に色々代入して探しても構わない。
19x=1+24yだから、y=1,2,3・・・・を代入して19で割り切れるものを探す、
でも良い訳。
y=15の時、24y+1＝361 で19×19
(x,y)=(19,15)
後は、この(19,15)を使って一般解を求める。

「ユークリッドの互除法」でやり方を検索してマスターして下さい。
(x､y)の組を1個見つける為にやってるだけだから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。そこまでわかりましたが、
なぜユークリッドの互除法を使うと1つ解が求まるのですか？

お礼日時：2020/09/21 19:42

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/21 19:03

・「最大公約数を求める段階で答えが出る」の「答え」って, どんな問題に対する「答え」なの?

・「ユークリッドを使うと解が出る」の「解」とは何に対する「解」? そして「ユークリッドを使う」ってのはどのような操作なの?

その例を使って説明してくれる?