実数係数4次方程式の判別式

Question

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomial/discriminant.htm

を参照して、判別式について考えています。

そこでの、普通の意味での判別式は、
Ｄ ＝ ａ_0^2(ｎ-1)Π( αｉ － αｊ )^2
で、

Ｄ＝０⇔多項式 Ｆ(Ｘ) （または、方程式 Ｆ(Ｘ)＝０ ）は、重根をもつ

です。

２次においては、
Ｄ＞０ならば、２つの相異なる実数解をもつ
Ｄ＜０ならば、２つの相異なる虚数解をもつ
Ｄ＝０ならば、実数の２重解をもつ

３次においては、
Ｄ＞０ならば、３つの相異なる実数解をもつ
Ｄ＜０ならば、１つの実数解と２つの虚数解をもつ
Ｄ＝０とする。ｐ＝ｑ＝０ならば、３重解（解は０のみ）をもつ
　　　　　　　ｐｑ≠０　ならば、　３つの実数解（２重解とその他の解）をもつ

のように、２次や３次に限っては、判別式Ｄの正負または０の値によって明確に分類されます。

では、４次方程式の場合にはどうなるでしょうか？

たとえば、相異なる実数解を４個もつ条件は何でしょうか?

（極大値が正、極小値が負という条件を考えましたが、微分した３次方程式を解くことになるし、結果もきれいにならないだろうし、また、より一般には、５次方程式は解けないし、なにか別のいい方法を知りたいと思っています。）

info22 · Accepted Answer

＞では、４次方程式の場合にはどうなるでしょうか？＞たとえば、相異なる実数解を４個もつ条件は何でしょうか? 3次までの判別式DはD=0が重解を持つ条件ですね。判別式Dの定義が方程式の最高次の係数を1に正規化した後の方程式の判別式では２根の差の自乗積ですから、重解があればD=0は明らかですね。重解以外の判定はたまたまできただけです。もちろん、実数係数の高次多項式＝０の方程式は必ず複素根を持つ場合はすべて共役複素根のセットとして存在します。３次方程式は一根は実数です。従って虚根がある場合は共役複素根が一組だけしか存在しません。従ってこの性質から判別式Dの正負により根の実根や虚根の判別とD=0の重解（重根）の有無の判別とから、D>0で異なる実根まで判別が可能になったわけですね。２次方程式もおなじ理由で根の判別ができます。５次以上は一般的には根が求められませんから根の差の自乗積でできる判別式Dだけで一般的に今の種類を統一的に論じられませんね。重解（重根）の存在の判別だけにしか使えませんね。ただすべてが異なる実根の場合はD>0になりますが、それ以上のことは解析しないと分かりません。４次方程式の場合は一般的にすべての根を求めることができますから、根の判別はできますね。ただ従来の根の差の自乗積でできる判別式Dだけで一般的に判別できるかと言えば多分できないきます。一般的な解析が難しいからどの数学書にも書かれていないのだと思います。本論に戻って４次方程式の場合の異なる４実根を持つ条件については f(x)=0の４根をα、β、γ、δとおけば以下の３つの条件が成立することが異なる４実根を持つ条件となるかと思います。１）f'(x)=0が異なる3実根a,b,c(a0 ２）f(a)f(c)>0 D1= (a-α)(a-β)(a-γ)(a-δ)(c-α)(c-β)(c-γ)(c-δ)>0 ３）f(a)f(b)<0 D2=(a-α)(a-β)(a-γ)(a-δ)(b-α)(b-β)(b-γ)(b-δ)<0 判別式D1,D2,D3を使えば良いですね。４次方程式の根と係数の関係からD1,D2,D3が係数だけで表せれば一般化できますがやってみていませんのですみません。(^^;)

info22 · Answer

A#2のお礼の補足で

＞実数係数n次方程式がある。n次の係数は1にしておく。

とあるので

＞Ｄ＝ａ_0^2(ｎ-1)Π( αｉ － αｊ )^2=(係数の多変数多項式で表せる)として、
＞重根をもつ⇔Ｄ＝０
Ｄ＝Π( αｉ － αｊ )^2
となります。

adinat · Answer

もちろん高次方程式に対しても判別式を考えることはできますが、非常にやっかいな計算になるので、判別式を用いて解の虚実を調べようというのはあまりよい方針とは思えません。

そもそも判別式は重根の存在の有無を調べるためのものであって、実数解の存在の有無が分かるのはむしろ2次方程式、3次方程式の場合に限って出てくる副次的なものです。

たとえば4次方程式であれば、判別式が正になっても実根が4つなのか、虚根が4つなのか区別できません。負であれば実根が2つで虚根が2つだと分かるけれども。より高次になればなおさらです。微分の情報を調べて何とかならないか、という気がするかも知れませんが、たとえば、4実根を持つ方程式x^4-4x^2+3=0と、4虚根を持つx^4-4x^2+5=0を比べてみればよいのです。導関数はまったく同じです。

すなおに極値の符号を調べるというのがもっとも簡単で、また実戦的だと思います。微分した3次方程式が難しい場合も解の近似値を得て、おおよそのことは分かります。たとえばα<β<γに対して、f(α)<0、f(β)>0、f(γ)<0がわかっただけで、最高次の係数が正であれば、4実解を持つことはわかります。α、β、γは極値である必要はありません。実用的という意味では、微分した3次関数を解くのではなく、もとの4次式f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dをf(x)=(x-α)^2(x-β)^2+px+qと変形して（恒等式だから係数比較ですぐできる）f(α)<0、f(β)<0、f((α+β)/2)>0がわかれば4実数解がある、とやることも出来ます。これは必要条件にはなっていませんが、実用的という意味ではかなり強力な道具です。複接線と呼ばれるpx+qと比べる、というアイデアです。もちろんこれが成り立たなくても4次数解を持つ可能性はありますが、大抵の場合、まれです。ちなみに複接線が引ける条件はf''(x)=0が異なる2実解を持つことです。

どうしても判別式と使ってみたい場合、D(a)={f(x)-aの判別式}とおいてやって、D(a)の符号の変化を調べる、という方法が使えるかも知れません。大抵の場合、元の方程式より厄介になっているようには思いますが。グラフを考えてみるとどうなれば4実数解を持つかは具体的にかけるでしょう。

実数係数4次方程式の判別式

＞では、４次方程式の場合にはどうなるでしょうか？

A#2のお礼の補足で

もちろん高次方程式に対しても判別式を考えることはできますが、非常にやっかいな計算になるので、判別式を用いて解の虚実を調べようというのはあまりよい方針とは思えません。

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