弧度法で弧の長さと面積をだす公式が腑に落ちません

弧度法で弧の長さと面積をだす公式が腑に落ちません

弧の長さは、半径　x　中心角(ラジアン)

面積は、半径　x　この長さ　x　１／２


とのことですが、なぜ上記の公式で、弧の長さと、面積を求めることができるのでしょうか？

No.6 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/05 17:31

π：円周率

中心角(ラジアン) ＝2π × 中心角(°) ／360°
ということを知っていれば、

弧の長さ：半径 × 中心角(ラジアン) ＝半径 × 2π × 中心角(°) ／360°
　　　　　＝直径 × π × 中心角(°) ／360°
この式から、弧の長さは
「直径 × 円周率」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

そして、
扇形の面積：半径 × 弧の長さ × 1/2 ＝半径 × 半径 × 2π × 中心角(°) ／360° × 1/2
　　　　　　＝π × 半径 × 半径 × 中心角(°) ／360°
と計算式を変形すれば、ここから
「円周率 × 半径 × 半径」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

よって、このようにすると
「直径 × 円周率」が円の円周の長さ、
「円周率 × 半径 × 半径」が円の面積であることはすでに習っているはずなので
計算式上で理解しやすいはずです。


さて、ではなぜラジアンを使うのでしょうかという問いですが、
実は半径1の円において、円周の長さが2π(ラジアン)であることに関係しています。
半径1の円の弧の長さ
=円周の長さ × 中心角の割合 =2π × 中心角の割合
=中心角(ラジアン)
ここから、弧の長さ＝半径×中心角(ラジアン)が導かれるのです。
きちんと理解ができていれば、ラジアンを使ったほうが簡単だったというだけですね。


扇形の面積に関しては、計算式から求めても構わないのですが、
直感的には、No.4のかたの言うように、三角形に細分化したものを考えます。

同じ扇形を二つ用意して、これを小さな扇形にカットしたものを想像してください。
そしてそれを交互に組み合わせていきます。
　～～～～
/　　　　/
～～～～
カットの仕方が大きいと上の図のようになりますが、
より微細にカットしたものを使うことによって、
｜￣￣￣｜
｜　　　｜
　￣￣￣
というように、だんだん長方形に近づいていきます。
このとき、底辺が弧の長さ、高さが半径に近づいていきます。
こうすることによって、
扇形の面積（の2個分）は弧の長さ × 半径 と表されるのです。
すなわち、
扇形の面積＝弧の長さ × 半径 ÷２
という式が導かれるわけです。

この作業をしているのが積分なのですが、それは割愛します。

この回答へのお礼

とても分かり易かったです。

お礼日時：2017/07/06 09:55

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2017/07/05 15:38

ラジアンと云う単位にするから、解らなくなる？

だったら、度数で考えても同じ事ですよ。

半径 r の円の面積は　Πr² で、円周は 2Πr ですね。
中心角が360°の扇形の面積は、円の面積と同じです。
「円の面積」＝「半径」×「円周の長さ」×1/2
＝r×2Πr×1/2＝Πr²　ですね。
扇形の中心角と弧の長さは比例しますから、
中心角 θ° の扇形の面積は Πr²・θ/360 ですね。
（この時の弧の長さは 2Πr・θ/360 。）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/07/06 09:55

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/05 10:34

「三角形」の面積は、

　高さ　x　底辺　x　1/2
ですよね。

扇形では
　弧の長さ = 三角形の底辺の長さ
　半径 = 三角形の高さ
に相当していることが分かりますか？

扇形を、その中心角で細かく分割していけば、「ほとんど三角形」になっていくのが分かるかと思います。
この「中心角→0」の極限では「扇形→三角形」になるので、それを分割した分だけ足し合わせると扇形の面積になります。（ゼロの極限まで分割したものを足し合わせるのが「積分」です。微積分が分かるなら、ご自分でやってみてください）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/07/06 09:55

No.3 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/07/05 09:46

θ(ラジアン)の定義が、弧の長さ/半径です。

従って、弧の長さは定義より　θ=弧の長さ/r　→　弧の長さ=rθ　になります。

円周は2πr(π：円周率、r：半径)ですので1周(360°)は2π(ラジアン)です。
円の面積はπr^2ですので、中心角θの面積は
πr^2 × θ/2π=π/2π × r × rθ=1/2 × r × 弧の長さ　になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/07/06 09:56

No.2 回答者： zuntac 回答日時： 2017/07/05 09:35

半径が1の時、円周 = 直径 x π = 半径 x 2π = 半径 x 2π(ラジアン)

弧の長さ は 半径 を比例定数とすると中心角(ラジアン)に比例するので
これから 弧の長さ = 半径 X 中心角(ラジアン)

http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1305/14/ne …
にある説明図より
面積は、半径　x　この長さ　x　１／２

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/07/06 09:56

No.1 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/05 09:29

ここで出てくる円や扇形の半径をr,扇形の中心角のラジアンをθとします。

ラジアンの定義は、１ラジアンの中心角の扇形の弧の長さが半径rと等しくなるというもので、このようにラジアンを定義したために円の周りの長さは2πrと表されます。扇形の中心角と弧の長さは比例するので(紙に書けば理解できます)、中心角θのとき
弧の長さL=2πr×(θ/2π)=rθとなります。
また、ラジアンの定義により
半径rの円の面積はπr＾2となります。
扇形の中心角と扇形の面積は比例するので(紙に書けば理解できます)、
半径r、中心角θの扇形の面積をSとすると
S=πr＾2×(θ/2π)==(r＾2)θ/2
となります。
rの定義の仕方によりこのようなことが生じたのです。
(紙に書けば理解できます)の部分について、
例えば、扇形の角度を二倍にすると、弧の長さと面積は二倍になります。
教えてくれない先生もいるので大変ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/07/06 09:56