線形代数の範囲です

簡単なことですが、よくわからないのです
おそらくFermatの小定理あたりの応用だとおもうんですが。。。

（１）１０！を１１で割った余り及び１０＾３０を１１で割った余りを求めよ
（２）１＾３０＋２＾３０＋・・・・＋１０＾３０を１１で割った余りを求めよ

糸口さえみえません。。。

No.5 回答者： guuman 回答日時： 2005/06/06 19:48

久しぶりに見てみると書き間違いをしていることに気がつきました

ｐを奇数として
は
ｐを素数として
の間違いです


ｐを素数として＜－－－－－ここ
≡をｍｏｄ　ｐのものとして

ｘ≡Ｘ
ｙ≡Ｙ
ならば
ｘ・ｙ≡Ｘ・Ｙ
であることから求まるでしょう
この証明は簡単なので自分で考えてください


例えばｐ＝１１ならば
１０≡－１
だから
１０＾３０≡（－１）＾３０≡１
のように

また
９＾３０≡（－２）＾３０≡（－８）＾１０≡３＾１０≡９＾５≡（－２）＾５≡－３２≡１
あるいは
９＾３０≡（－２）＾３０≡（１０２４）＾３≡１＾３≡１

最後のは１０項についてやってそれをすべて足して１１で割ったあまりを出せばよい

No.4 回答者： guuman 回答日時： 2005/06/04 22:07

ｐを奇数として

≡をｍｏｄ　ｐのものとして

ｘ≡Ｘ
ｙ≡Ｙ
ならば
ｘ・ｙ≡Ｘ・Ｙ
であることから求まるでしょう
この証明は簡単なので自分で考えてください


例えばｐ＝１１ならば
１０≡－１
だから
１０＾３０≡（－１）＾３０≡１
のように

また
９＾３０≡（－２）＾３０≡（－８）＾１０≡３＾１０≡９＾５≡（－２）＾５≡－３２≡１
あるいは
９＾３０≡（－２）＾３０≡（１０２４）＾３≡１＾３≡１

最後のは１０項についてやってそれをすべて足して１１で割ったあまりを出せばよい

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2005/06/04 22:02

＞１０！を１１で割った余り

ab≡1 (mod 11)
となるような自然数の組{a,b}をペアと考えて、
1～10の自然数を
{1},{2,6},{3,4},{5,9},{7,8},{10}
のように6個のグループに分けて、
1*2*3*・・・*10
=1*(2*6)*(3*4)*(5*9)*(7*8)*10
を11で割った余りを考えてみてください。(括弧でくくった部分を11で割った余りは1、という事に着目してください)

ちなみに、これと同じような考え方をすれば、
pが素数ならば、(p-1)!≡-1 (mod p)
となる事が証明できます。(ウィルソンの定理)

＞１０＾３０を１１で割った余り
＞１＾３０＋２＾３０＋・・・・＋１０＾３０を１１で割った余り
フェルマーの小定理より、aが互いに素な時、
a^10≡1 (mod p)
ですので、a^30=(a^10)^3を11で割った余りは・・・？

No.2 回答者： ritumushi 回答日時： 2005/06/04 21:46

（すいません訂正です）算数的ですが

（１）10x9=90=11x8+2,8x7=56=11x5+1,6x5=30=11x2+8,
4x3=12=11x1+1,2x1=2=11x0+2
10!を11で割った余りは
2x1x8x1x2=32=11X2+10を11で割った余りに等しい。よって、余りは１０
（２）10^30=(100)^15=(11x9+1)^15、よって、余り１
（３）?

No.1 回答者： ritumushi 回答日時： 2005/06/04 21:39

算数的ですが

（１）10x9=72=11x8+2,8x7=56=11x5+1,6x5=30=11x2,
4x3=12=11x1+1,2x1=2=11x0+2
10!を11で割った余りは
2x1x8x1x1x2=32=11X2+10を11で割った余りに等しい。よって、余りは１０
（２）10^30=(100)^15=(11x9+1)^15、よって、余り１
（３）?