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- 回答日時:
相加平均≧相乗平均
については、n=2^kで成立することを帰納法で証明し、
n+1の時に成り立つと仮定して、nの時に成り立つ事を証明する
という証明を見かけた事があります。ちょっと変わった帰納法ですね。
余談はそれくらいにして、証明を。(厳密なものがよければ、他の方に期待するとか補足するとかしてください)
y=logxは上に凸なので、
A1(a_1,loga1),A2(a2,loga2),・・・,An(an,logan)
を頂点とするn角形の重心はy=logxの下側にある。
すなわち、
log((a1+・・・+an)/n)≧(loga1+・・・+logan)/n
∴(a1+・・・+an)/n≧(a1・・・an)^(1/n)
相乗平均≧調和平均
上の証明で
a1→1/a1,・・・,an→1/anとすると
((1/a1)+・・・+(1/an))/n≧(1/(a1・・・an))^(1/n)
この後は容易。
この回答へのお礼
お礼日時:2005/06/12 11:58
ありがとうございます。参考になりました^^
ただ、補題としてn角形の重心の位置が
(a_1 + a_2 + … + a_n)/n
となることを証明する必要があるようですね。
これは自分で考えてみますね^^
(わからなければまた質問させていただきますので^^;)
ありがとうございました^^
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