０の０乗っていくつですか？

Question

０の０乗っていくつですか？

私の周りに聞いたのですが、
０と言う人と、１と言う人と、不定という人がいました。

０と言う人は、０の１乗、０の２乗は０だから、何乗しても０だといいます。
１と言う人は、１の０乗、２の０乗が１だから、１だといいます。
不定と言う人は、１としておくといろいろな計算で都合がいいので、
「便宜上」１としているが、本当は決まらない、不定だと言っています。

本当のところはいくつなんでしょうか？

Naka · Accepted Answer

◆Naka◆
関数によって異なる、という考えに、私も賛成です。
私が０乗について教えるときは、次のような説明を用います。

例えば（２の５乗）÷（２の３乗）は、32÷8だから４になり、これは２の（５－３）乗に等しくなります。
同様に（２の５乗）÷（２の５乗）は、32÷32で１になりますね。で、これは２の（５－５）乗、つまり２の０乗に等しくなります。
よって「０乗は１になる」というのが、数学的な約束事として扱われているわけですよね。

ところが、これを（０の５乗）÷（０の５乗）とすると、上記の法則から０の０乗に等しくなるはずですが、０は０乗以外の何乗しても０ですから、０÷０となり、０で割ることになりますから、「不定」ということになってしまいます。

そこでalf0さんのおっしゃる「y=x^x」を考え、対数を取りグラフを書いてみると、x=0に近づくほどy=1に近づくことがわかりますので、０の０乗を１とするのが一番わかりやすい気もしますが、これとて「0^0=1」であることを証明するものではありません。
「0^0=0」と解釈する解法もいくつか考えられますし…

というわけで、私は「不定」に一票。 (^^;)

vmlinuz · Answer

alf0 さんの答えにほぼ同感で、答えは極限の近付け方による、ということだとなのですが、ちょっとだけ:-)

これが直観的にも分かりにくく、なおかつ一意に定まらない理由を考えてみたのですが、a≠0 に対して何故 a^0 が 1 であるのかを考えてみれば良いのではないかと思います。
これは通常の指数計算では b>0 に対し a^-b = 1/(a^b) というルールを採り入れた結果、a^b * a^(-b) が 1 にならないとおかしいので a^0 を 1 とするのではないかと思います。
ところが 0^(-b) なんていうものは分数では定義できないですよね。だから 0^b なんていうのはありでも 0^0 は定義できないですよね。

級数でも足し算の順序を変えると収束先が変わるということが良くありますけど、これもそういうことと本質的に同じなのだと思いますがどうでしょう。

noname#9414 · Answer

0の0乗は1のはずです。
確か□の○乗というのは、1x（□が○個）のはず。

それで行けば、0の0乗は
1x（0が0個）なので、1でしょう。

ではでは☆

katuya · Answer

私の場合は、
　nの2乗は、1*n*n
　nの1乗は、1*n
　nの0乗は、1
と解釈しています。

１にｎを何回掛けるか？で考えればどうでしょうか？
ｎに０を代入しても矛盾ありませんね。
数学的に正確な記述か自信ないので自信なしです。

alf0 · Answer

まず、ｘのｘ乗を考えてください。
この状態でｘを０に近づけて行くと、１に近づいて行きます
こうすると、０の０乗に近づいて行きます。
これを根拠に０の０乗は１ということも出来ます。

一方、以下の式を考えてください
ｙ=(1/(x^x))^(1/ln(x))
このとき、ｘを無限大に近づけて行くと、
形式的には０の０乗に近づいて行きます。
この式を整理するとy=e^(-x)になります。（両辺lnをとる）
この状態でｘを無限大に近づけて行くと０になります。

以上から、極限操作により０の０乗を作ると、
０にも１にもなりうるということを知ってください。
ですから、その時々の０の０乗の現れ方（根拠となる式）によると思います。

昔、悩みました。
０の０乗の正面からの回答にならず、すいません。

will-y · Answer

nの0乗は1、0のn乗は0ですが0の0乗は1になると思います。
「nの0乗は1」という決まり事の方が強いとしか聞いていません。
電卓でも0^0=1になりますね。

selenity · Answer

回答でなくて申し訳ないのですが、理由は分かりませんが、
少なくとも、以下の環境では0^0は1とでます。
・Linux 2.2.16上のbcコマンド
・FreeBSD 3.4上のbcコマンド
・FreeBSD 3.4上のdcコマンド
・WindowsNT4.0(SP5)上の電卓(関数電卓モード)

０の０乗っていくつですか？

◆Naka◆

alf0 さんの答えにほぼ同感で、答えは極限の近付け方による、ということだとなのですが、ちょっとだけ:-)

0の0乗は1のはずです。

私の場合は、

まず、ｘのｘ乗を考えてください。

nの0乗は1、0のn乗は0ですが0の0乗は1になると思います。

回答でなくて申し訳ないのですが、理由は分かりませんが、

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