No.1
- 回答日時:
(rot(X+dX))**2
はベクトルのスカラー積ですから、各成分の積の和を求めればよいでしょう。テクテク計算すればよいことです。
計算して解らない所があれば補足して下さい。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
初めまして。
blue_monkeyと言います。問題を次の変分問題の計算として理解し、説明させていただきます。blue_monkeyの理解が間違っていましたら、読み捨ててください。
問題
(1) E[G]=∬ (∇×(Gx(x,y,x),Gy(x,y,z),Gz(x,y,z)))^(2) dx dy dz
(1)式について(2)の変分を求める。
(2) δE=E[G+δG]-E[G]
【ヒント?】
(1)ガウスの定理
∬∇・(Ax,Ay.Az) dx dy dz=∬(Ax,Ay,Az)・(dSx,dSy,dSz)
(2)ベクトル解析の公式(この式については特に説明をしません。手計算で確認していただければ幸いですぅ~)
(3) ∇・((Ax,Ay,Az)×(Bx,By,Bz))
=(∇×(Ax,Ay,Az))・(Bx,By,Bz)-(∇×(Bx,By,Bz))・(Ax,Ay,Az)
【蛇足計算】
以下の計算では、ベクトルG、A、BをVG、VA,VBと記述します。
また、体積素片dxdydzをdrと略記させていただきます。
ベクトル成分の積は、実数と同じ交換則(可換)が成り立つとします。
δE=∬∇×(VG+δVG)・∇×(VG+δVG)-∇×(VG)・∇×(VG) dr
ベクトル関数VGの変分の一次の項までを取ると(δVGの2次以上の高次の項は考えない)、
=2*∬∇×(VG)・∇×(δVG) dr
(4)
(3)式にて、VA=δVG、VB=∇×VGとして、代入します。
(5) ∇・(δVG×(∇×VG))
=(∇×δVG)・(∇×VG)-(∇×(∇×VG))・δVG
(5)式の両辺をx,y,zで積分を行います。
∬∇・(δVG×(∇×VG)) dr
=∬(∇×δVG)・(∇×VG)-(∇×(∇×VG))・δVG dr
上記式は、右辺の2項を左辺に持っていき整理すると、
(6) ∬(∇×δVG)・(∇×VG)dr
=∬∇・(δVG×(∇×VG)) +(∇×(∇×VG))・δVG dr
(6)式を(4)式に代入すれば、
δE=2*∬∇・(δVG×(∇×VG)) +(∇×(∇×VG))・δVG dr
第1項はガウスの定理を利用することで、境界面での積分となります。
dVSを面素辺ベクトルとします。
=2*∬(δVG×(∇×VG))・ dVS +2*∬(∇×(∇×VG))・δVG dr
境界面で、変分δVG=V0(注:V0は(0,0,0)の0ベクトルの意味)になることを想定して、第1項の境界での面積分は0として落とします(あるいは、境界を無限円にとり、想定するベクトル場が0になることを仮定して面積分を落とします)。
δE[G]=2*∬(∇×(∇×VG))・δVG dr
誤記、誤計算、ウソがありましたらゴメンナサイ。
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