二次関数・・・分かりません・・・教えてください。

問題が二つあります。↓

二次関数　y=x2＋ax+b のグラフが点（２，４）を通り、その頂点が直線　y=2x+1　上にあるとき、a,b の値を求めよ。

二次関数　y=x2-4x+2(1≦x≦4)　において、最大値と最小値を求め、そのときのｘの値も記せ。

答えとその説明をしていただけたらとても嬉しいのですが、無理でしたら答えだけでもけっこうです。
ああ、誰かお願いです。助けてください・・・。

No.1 回答者： ami_mizuno 回答日時： 2001/10/31 13:55

下の方の答えは、

ＭＡＸ＝２（Ｘ＝２）
ＭＩＮ＝-２（Ｘ＝４）
だと思います。
実際にグラフを書いてみると解りますよ。

No.2 回答者： rei00 回答日時： 2001/10/31 14:23

【１つ目】

　二次関数　y = x^2 + ax + b　を変形すると，y = (x + a/2)^2 -(a^2 + 4b)/4　になります。したがって，グラフの頂点は（-a/2, -(a^2 + 4b)/4）です。この頂点が直線　y = 2x + 1 上にある事と点 (2, 4) が二次関数上にある事から，方程式が２つ出来ますね。変数が２つで式が２つですから，これを解けば a, b が求まります。

【２つ目】
　上と同様に，二次関数　y = x^2 -4x + 2　を変形すれば，頂点の座標が求まりますね。二次関数が最大値又は最小値になるのは，頂点か変数ｘの取りうる端の値（今の場合では，1≦x≦4 から X=1 または X=4 の時）においてです。後はこれらの値を求めて比べてみて下さい。


ami_mizuno さん，
> ＭＡＸ＝２（Ｘ＝２）
> ＭＩＮ＝-２（Ｘ＝４）
　タイプミスだと思いますが，この二次関数は点（2, 2）も点（4, -2）も通りませんよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： maruru01 回答日時： 2001/10/31 14:28

こんにちは。

maruru01です。
上の問題を。

まず、二次関数が(2,4)を通るので、代入して
　　4=2^2+a*2+b
整理して、
　　b=-2*a　　　　・・・(1)
次に、二次関数の頂点の座標を求めます。頂点ではその接線の傾きが0、つまり微分して0ということなので、二次関数を微分して
　　y'=2*x+a=0
したがって、
　　x=-a/2
これを二次関数に代入して、
　　y=(-a/2)^2+a*(-a/2)+b
　　 =-a^2/4+b
つまり二次関数の頂点の座標は、(-a/2,-a^2/4+b)で、これが直線上にあるので代入して、
　　(-a^2/4+b)=2*(-a/2)+1
整理して、
　　a^2-4*a-4*b+4=0　　・・・(2)
(1)、(2)より、aとbの連立方程式を解いて、
　　a=-2(重解)
　　b=4
となります。

下の問題は、
まず頂点のx座標を求めます。これは、上の問題と同じように微分で求めます。
　　y'=2*x-4=0
　　x=2
これが問題の範囲にはいっており、この二次関数は上に開いている（xの2乗の項が正の数）ので、この頂点が最少値になります。つまり、
　　y=2^2-4*2+2
　　 =-2
ですね。
あとは範囲のどちらかが最大値です（実際は頂点から遠い方）ので、
　　(x=1の時)　1^2-4*1+2=-1
　　(x=4の時)　4^2-4*4+2=2
したがって
　　最小値：-2(x=2)
　　最大値：2(x=4)
になります。
では。

No.4 回答者： yakumo1010 回答日時： 2001/10/31 14:34

最初の問題

グラフが点（２，４）を通るからそのまま代入して
4=2^2+2a+b
b=-2a・・・(1)
式変形をして
ｙ＝（ｘ＋a/2)^2+b-a^2/4 (^は累乗の意味この場合は^2だから２乗のこと）
頂点は（-a/2,b-a^2/4)となる。
だからこれをy=2x+1に代入して
b-a^2/4=2(-a/2)+1
(1)よりb=-2aを代入して式を整理すると
a^2/4+a+1=0
両辺に４をかけると
a^2+4a+4=0
(a+2)^2=0
よってa=-2
(1)よりb=4となる。


二番目の問題
式変形すると
y=(x-2)^2-2
よって、頂点（２、－２）で下に凸のグラフだとわかる。
1≦ｘ≦４だから頂点のｘ座標より一番離れているx=4のとき最大値をとり
頂点に一番近い、つまり頂点自身で最小値をとる。
したがって、x=4のとき最大値2 x=2のとき最小値-2
（この問題はグラフを書けばすぐわかります。）

No.5 回答者： ami_mizuno 回答日時： 2001/10/31 14:38

rei00さん、そのとおりです。

手元で、ＭＡＸ＝２（Ｘ＝４）
　　　　ＭＩＮ＝-２（Ｘ＝２）
と書いてあるのに、タイプミスをしてしまいました。
（高校のテストで同じミスをしたような・・・）

あと、ａ＝-２、ｂ＝４でいいのでしょうか？　
手でグラフを書いて、あたりを付けた値がまさにそれなんですが・・・
（それも適当なグラフで）

No.6 回答者： GSK 回答日時： 2001/10/31 14:40

＞二次関数　y=x2-4x+2(1≦x≦4)　において、最大値と最小値を求め、そのときのｘの値も記せ。

答えは他の人が出しているようですから、おさらいもどきを
とりあえず、下の問題の手がかりのアドバイスを・・（説明は省きました。　　　・・；　　）
いろいろ、最勉強の必要がありそうです。色々な観点でイメージとしてお伝えします。

二次関数はわかりますか？手始めに
1.因数分解はできますか？
　できると
Ｙ＝（Ｘ-ａ）（Ｘ-ｂ）　　　　　　　　-----*1
ができると思います。この場合、
右辺の左側　Ｘ-ａ＝0（ゼロです。）と仮定すると　　　→　Ｘ＝ａ　ですね。
右辺の右側も同じことが出来ます。
どころで、算数の問題で
Ｃ×0は幾つか？　　　当然　0（ゼロ）です。すると*1のしきで、
Ｘが　ａ、ｂの時、Ｘ軸（Ｙ＝０）をとおる二次関数になります。
（Ｘだけでなく、２Ｘ、３Ｘの時も同じ考え方でＯＫです。）

2.
二次関数は他に
Ｙ＝ａ（Ｘ-ａ）＾2+ｂ　　　　　　　------*2
の表現があると思います。　　　ａ＝0ではない
この式で頂点を表しています。
頂点の座標は、　Ｘ-ａの場所です。
よって、そのときのＸ座標の場所は　Ｘ-ａ＝0のところ、
Ｘが求まったら、＊２の式にＸの式を代入しましょう。
あと、Ｘ＝ａを境に左右対称になる事も学びましょう。

下の問題は、２を利用して、式を変換して、ついでにグラフを表示して、
回答するといいでしょう。
（計算はしていませんが、答えは、頂点か範囲指定のどちらかになります。
　私は厳しいので、自分で求めなさいそのほうが貴方の為です。　　　（笑　　　）