数学的帰納法

以下の問題を数学的帰納法で証明しようとしています。

2^n + 3^n の解は、nが奇数のとき５の倍数である。ただしn＞１とする（2^n は2のn乗）。

nが奇数なので2n-1とし、

2^2n-1 + 3^2n-1 としました。これを書き換えて

2×4^n-1 + 3×9^n-1 としたのはいいんですが、
ここからこれが５の倍数とする式が出てきません。もしこの方法が正しければどなたか助けていただけますでしょうか？　もしこの方法自体が間違っていましたら他にどうすれば良いか教えていただけると幸いです。。

No.2 ベストアンサー 回答者： melonpan 回答日時： 2005/09/06 09:05

おはようございます。

まず、
>2^2n-1 + 3^2n-1 としました。これを書き換えて
>2×4^n-1 + 3×9^n-1 とした
これだと多分よろしくないのかな、と思います。

>数学的帰納法で証明しよう
とおっしゃっているのだから、
ｎが１～ｍで条件が成り立つと仮定した上で、ｎ＝ｍ＋１の場合にも成り立つことを示せればよいと思います。

まず、「ｎが奇数、ただしn＞１」なので、2^n + 3^nは
2^(2m+1) + 3^(2m+1)・・・(1)
に変形します。
ここで、普通はｎ＝１の場合に成り立つことを示しますが、ｎの条件を考慮してｍ＝？の時に(1)が成り立つことを示します。
ｍがいくつになるかは、省略します。

次に、(1)のｍにｍ＋１を代入します。
2^(2(m+1)+1) + 3^(2(m+1)+1)・・・(2)
上の(2)を変形して、５×？＋［(1)の式］にうまく変形できれば、
ｍ＋１でも成り立つことが導けるわけです。

一応、復習をかねて、指数法則の式を見ておいてください（参考ＵＲＬ）。

あと、おまけのヒント（？！）。
４＝５－１、９＝１０－１

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2005/09/06 10:11

高校の教科書の帰納法は

形式とは多少ずれますが，
こういう風な一個飛ばしの帰納法も可能です．

n=1では成立
＃なぜn>1が条件か不明です

nに対して2^n+3^nが5の倍数と仮定する

2^{n+2}+3^{n+2}
= 4 (2^n) + 9 (3^n)
= 4 (2^n+3^n) + 5 (3^n)

帰納法の仮定より 2^n+3^n は5の倍数
よって，2^{n+2} + 3^{n+2} も5の倍数

したがって，全ての正の奇数nに対して
2^n+3^nは5の倍数

この回答へのお礼

みなさん素早いご回答ありがとうございました。無事に解くことが出来ました。

お礼日時：2005/09/06 11:04

No.3 回答者： chiropy 回答日時： 2005/09/06 09:59

ｎ＞１の奇数なのでｎ＝２ｍ＋１（ｍ＝1，2，3，…）とする。

　まずｍ＝１の時「2^n + 3^n の解は、nが奇数のとき５の倍数である」かどうか調べる。（ここでは省略）
　次に帰納法で証明するのでｍ＝ｋの時成り立つと仮定してｍ＝ｋ＋１でも成り立つかを調べる。（ｋは正の整数）ｍ＝ｋで成り立つので
2^(2k+1)+3^(2k+1)=5p…………………(1)
ｍ＝ｋ＋１の時を考えると仮定から
2^(2k+3)+3^(2k+3)
=2^2*2^(2k+1)+3^2*3^(2k+1)
=4*2^(2k+1)+9*3^(2k+1)
=4*{5-3^(2k+1)}+9*3^(2k+1) (1)より
=5*4-4*3^(2k+1)+9*3^(2k+1)
=5*4+5*3^(2k+1)
=5*{4+3^(2k+1)}
4+3^(2k+1)は整数なので2^(2k+3)+3^(2k+3)は５の倍数うとなり、ｍ＝ｋ＋１の時にも成り立つ。
よって全ての自然数ｍについて成り立つので、ｎ＞１の奇数についても成り立つ。（ｎ＝２ｍ＋１だから）
Q.E.D.

＞＞2^n + 3^n の解は、nが奇数のとき５の倍数である。ただしn＞１とする（2^n は2のn乗）。
これをｎ＝２ｍ＋１とおいた上で
『Aｍ＝2^(2m+1)+3^(2m+1) (m=1,2,3,…)の時全ての自然数ｍについてAmが５の倍数であることを示せ』と同じなので、こうか書かれると少しは分かりやすいですか？

私は現高2なのですが、文章が下手で分かりにくいかも知れませんが（回答も間違っているかも知れませんが…）許してください。

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/09/06 08:40

数学的帰納法で解けるかどうかは判りません。

(2^n + 3^n) は (2+3) で整除できるのではないのでしょうか。