円形電流の任意点につくられる静磁場について（ビオサバールを利用）

　初めての質問となりますが、御回答を宜しくお願いいたします。

　タイトルに書かせて頂いた通り、円形電流の任意の観測点Pに作られる静磁場において、観測点Pに電流素片Idsがつくる磁場の大きさをどうやって算出したらいいのかがわからず困っています。

　円形電流の中心軸上に作られる静磁場において、電流素片IdsのP点につくる磁場の大きさについては、円形電流半径a、電流I、観測点Pとdsの距離R、としたときの静磁場は、
　　　　　　ds=μ*I*ds/(4*π*R^2)
というように求めることができます。
　ここで、観測点Pが中心軸上ではなく、XYZ座標上で、(x,y,z)の座標にあり、円形電流が、X^2+Y^2=a^2 の位置にあるときdBは、どのように算出できるのでしょうか。
　長文で申し訳ありませんが、宜しくお願いいたします。

No.9 ベストアンサー 回答者： imoriimori 回答日時： 2005/09/26 17:10

#8の続きです。

「mathematicaは、使える環境にあります」→それは何よりです。式をmathematicaへコピーペースとして、セル→形式変換→Standard Form　とやるとぐんと意味の見やすい式になります。

「まだ、使用した経験はないのですが。」→自分だけで学ぶのは長時間かかって大変なので、知り合いにユーザが居れば助けてもらうのをお勧めします。

「やはり、楕円積分・・・」→組み込み関数を利用できる限りにおいて、logとかsinとかの関数となんら変わりなく、負担に感じる必要はありません。

「（例えば、bx[x_,y]のx_,y部分）は、引数なのでしょうか？」→そうです。

「Iが式中に入るとしたら・・・bx、bpの両式共に、mu*Iという形で、入れればいいのでしょうか？」→そうです。

「透磁率は、4π*10^-7 [N/A^-2]でよろしいのでしょうか？」→そうです（媒体中ならそれに比透磁率をかければよろしいです）。

この回答への補足

この場をお借りしてですが、今回の質問に対し、丁寧かつ明瞭な回答をしてくださった皆様に感謝したいと思います。

無事に、質問内容の解決まで漕ぎ着けることができました。
皆様の助けが無ければ、まず解決できなかったと思います。
本当にありがとうございました。

補足日時：2005/10/03 15:05

この回答へのお礼

お答えありがとうございます。

imoriimoriさんに教えていただいた文献も手に入りました。
和訳するのにちょっと時間かかりそうですが、なんとかなりそうです＾＾

進めていく上で、どうしてもわからない事があったら質問したいと思いますので、このままもう少し置いときたいと思います。
もし、迷惑であれば締め切りにしようと思っています。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2005/09/27 14:51

No.8 回答者： imoriimori 回答日時： 2005/09/22 18:31

#7の続きです。

大変お困りのようですので、Smytheの式（最終解のclosed form）を私流に焼き直して計算プログラムに書き込んである式をご参考にペーストします。
mathematicaのプログラムをテキストフォームに直したものです。一部mathematicaの記法に慣れておられないとつかみにくい部分がありますが（:とか_はプログラム上の記号）、数式としての意味は通じるかと思います。テキストフォームではどうにも見にくいですが。

ρ[y_] := Sqrt[y^2 + z^2]

ksquare[x_, y_] := 4*a*(ρ[y]/((a + ρ[y])^2 + x^2))

bρ[x_, y_] :=
((mu*x)/(2*Pi*ρ[y]*Sqrt[(a + ρ[y])^2 + x^2]))*
(-EllipticK[ksquare[x, y]] +
((a^2 + ρ[y]^2 + x^2)/((a - ρ[y])^2 + x^2))*
EllipticE[ksquare[x, y]])

bx[x_, y_] := (mu/(2*Pi*Sqrt[(a + ρ[y])^2 + x^2]))*
(EllipticK[ksquare[x, y]] +
((a^2 - ρ[y]^2 - x^2)/((a - ρ[y])^2 + x^2))*
EllipticE[ksquare[x, y]])

この場合、円形コイルはx=0のyz面にあり（xy面ではありません、コイルの軸はｘ方向です）、コイル中心はx=y=z=0です。
aはコイル半径。
ρは評価場所(x,y,z）のx軸からの距離。

bρは評価場所(x,y,z）において、ρ方向つまりｘ軸と直交する方向の磁場成分[T]。
bxは評価場所(x,y,z）において、ｘ軸方向の磁場成分[T]。
muは透磁率。
電流Ｉが入っていないのは、単位電流1[A]に固定しているから。

ElliptickKは第1種完全楕円積分。EllipticEは完全楕円積分。

ここでwarningとなるのですが、第1種完全楕円積分と完全楕円積分をささっと計算してくれる道具が無いと面倒になります。mathematicaはこれらを組み込み関数として持っています。
大学でしたらmathematicaとかMATLABとか数式処理ソフトを使える環境かもしれません。慣れるまで大変ですが。

この回答へのお礼

丁寧なお答えありがとうございます。
また、返信が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。

mathematicaは、使える環境にあります！！
まだ、使用した経験はないのですが。
やはり、楕円積分・・・。
この計算は、どうしても避けることができないようですね＾＾；

imoriimoriさんの書かれた上式のなかで、[]中（例えば、bx[x_,y]のx_,y部分）は、引数なのでしょうか？
また、電流Iが1A固定ということで、省略されているようですが、もし、Iが式中に入るとしたら・・・bx、bpの両式共に、mu*Iという形で、入れればいいのでしょうか？
透磁率は、4π*10^-7 [N/A^-2]でよろしいのでしょうか？

続けて多くの質問をしてしまい申し訳ありませんが、宜しくお願いいたします。

お礼日時：2005/09/26 16:01

No.7 回答者： imoriimori 回答日時： 2005/09/22 16:04

#5の続きです。

（１）参考となるWebページ、適切なもの見あたりません。

（２）紹介したSmythe文献、#4にてr>>aの近似が入っていると書きましたがどうやら私の誤認です。近似すると式が簡単になるという脇道として書いているだけのようです。この近似無しにそのまま計算を進めて見ると最終のclosed formのような式に至ります。「ような」というのは、全く同じ式かどうか約分その他の整理が面倒で未確認ということで、たぶん同じ。ということで、Smythe資料は「活き」だと思います。（他のかたからも適切な資料が紹介されているようですが）

（３）電磁界シミュレータが使える環境なら、そのほうが速いのではないかとも思いますが。

この回答への補足

この場をお借りしてではありますが、まだ、個人的に「質問」に書かせていただいた内容の完全な解決に至らないため、もう少し締め切りを待ちたいと思っております。（様々な方から、ご教授いただいた文献も入手できていません＞＜）
どんな情報でもかまいませんので、書き込みを宜しくお願いいたします＾＾

補足日時：2005/09/22 16:59

この回答へのお礼

早速のお答え感謝しております＾＾

なるほど！
確かに、r>>aの条件から解かれた解を利用すると、コイル面のZ軸上、または、それ付近では、a^2が無視されたものになり、正確な磁場を算出できないんです。

imoriimoriさんの使用されたSmythe文献の最終解では、ほとんど算出されたBは間違いないという点から、おそらく、a>r、r≧a　という条件下でも算出が可能だと思います。

本当にすばらしい文献を紹介してくださいまして、ありがとうございました。

お礼日時：2005/09/22 16:59

No.6 回答者： boson 回答日時： 2005/09/21 22:55

ランダウリ＝フシッツ理論物理学教程

「電磁気学１」
第４章、第２９節　p.157　問題２の解に「円形電流の任意の観測点Pに作られる静磁場」が円筒座標で書かれています。

所蔵図書館
http://webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BN018 …
http://webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BN018 …
http://webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BN095 …

アマゾンの在庫
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4489011 …

この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。
アマゾンには、在庫がないようですね＾＾；
とりあえず、大学の図書館で探してみようと思います。

お礼日時：2005/09/22 14:18

No.5 回答者： imoriimori 回答日時： 2005/09/21 19:20

#4の続きです。

「実際に最終解を用いて計算されていたようですが、その時の測定点と円形電流などの磁場を発生させている物質との距離、また、半径aは、どの程度に設定されていましたか？」
につきまして。

コイル半径aが0.1m～0.5m。
コイル面から磁場評価領域までクリアランス1cm程度。そこからa程度の距離まで。

私の場合、関心があるのは精密な磁場分布ではなく、その磁場が近傍物体内で誘導発熱を起こす総量とか誘導電流分布とか発熱分布です。

私の個人的ツールとしては満足していましたが、それは次のような理由からです。
・発熱分布は本格的なシミュレーションによる論文例と比べて大局的に合う結果を与える。
・中心軸上は（r<<aであっても）近似無しのビオサバール計算と全く同じＢの値を与える。
・コイルの線のごく近傍は、r≒aだけれども、アンペール則と全く同じＢの値を与える（つまりビオサバール則とも全く同じ値を与えるはず）。
・その他の場所の磁場分布も、正確さは別として、ごく自然に見えるＢの分布。

まあしかし、仮にちょっとくらい磁場分布がいんちきでも発熱等の分布がマクロに捉えられれば良いという目的で使っていましたので、どこまでＢ分布が正確かというとなんともわかりません。

この回答へのお礼

imoriimoriさん、御回答ありがとうございました。

なるほど。
磁場分布ではなく、発熱分布に焦点を当てていらっしゃったのですね＾＾
さらに、私の考えているコイル半径よりもかなり大きいコイルを計算に用いているということで、かなりの希望がでてきました。
その文献を早急に取り寄せできればいいんですが＾＾；
参考となるwebページなんかがありましたら、ご教授願いたい次第です。
何度も申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

お礼日時：2005/09/22 14:16

No.4 回答者： imoriimori 回答日時： 2005/09/21 17:22

＃２の続きです。

もうちょっと追記します。

dsの作るdBよりも、最終解（任意位置におけるＢのclosed formula）を求めておられると思ったのでSmytheの文献を紹介しました。最終解はpage 291ですが、読まれるならばその前後も見たほうが良いでしょうから、その場合page280-page301です。

ただし-------------------これもビオサバールではなくてベクトルポテンシャルでやっていて、r>>aの近似が入っています。ですから、ご要望に添うものではないということになります。m(_ _)m

（この最終解を使ってr>>aではない場所の磁場分布を計算させても、私個人の必要範囲では特に実態と違う変な磁場分布でもないので、気にせず使っていました。）

この回答への補足

補足になりますが、私は、円形電流の半径を少しずつ大きく、また、Z軸方向にずらすことで一つの円筒型コイル全体がコイル表面付近につくる磁場を計算しようと考えています。
この場合は、円形電流ではなく、ソレノイドで磁場を算出するといった考え方のほうが有効なのでしょうか。

補足日時：2005/09/21 18:12

この回答へのお礼

ありがとうございました。

そうですか・・・。
期待していただけに、残念です;;

imoriimoriさんは、実際に最終解を用いて計算されていたようですが、その時の測定点と円形電流などの磁場を発生させている物質との距離、また、半径aは、どの程度に設定されていましたか？
差し支えなければ教えていただけないでしょうか。

私は、円形電流中心からXYZ軸方向に各10mm程度の範囲の磁場分布を計算しようと考えていますが、明らかにr>>aではないですよね。。。
（0,0,0）の場合も有りますし・・・

宜しくお願いします^^

お礼日時：2005/09/21 18:12

No.3 回答者： 34say 回答日時： 2005/09/21 16:06

がんばってください

この回答へのお礼

がんばってます。。。

お礼日時：2005/09/21 16:09

No.2 回答者： imoriimori 回答日時： 2005/09/20 22:14

古い文献しか心当たりがなくて恐縮ですが、もし文献取り寄せができるのでしたら、下記のp291付近が参考になるのではないかと思います。

Smythe WR. “Static and Dynamic Electricity” 3rd edn, 291 (McGraw-Hill, New York, 1968)

この回答へのお礼

さっそくのお答えありがとうございました。
取り寄せができるかは、わかりませんが、今回imoriimoriさんの教えてくださった文献について調べてみようと思います。

お礼日時：2005/09/21 15:43

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2005/09/20 21:29

電磁気の参考書を持っていたら、それを、読んで下さい。

Pの座標を(x,y,z)とすると、計算が面倒だと思います。
ｒとθを使った方がいいと思います。

たぶん、ｒ>>a　の条件がありませんか？この条件がないと、難しいですね。もし、ｒ>>a　だとすると、Pから、回路を見る立体角と、アンペールの等価磁石の法則が使えます。

ともかく、参考書を良く読んで下さい。

この回答への補足

ojisan7さんのおっしゃる通り、自前の参考書には、r>>a　という条件でベクトル・ポテンシャルを用いて問題が解かれています。
しかし、今回考えている問題の条件が、a>r、または、r≧aというものなので、参考書に書かれている物が直接適応できず、質問させていただいた次第なのです。
やはり、今回考えている条件では、dBの算出は不可能なのでしょうか？
連投申し訳ありませんが、宜しくお願いいたします。

補足日時：2005/09/21 15:36

この回答へのお礼

さっそくのお答えありがとうございました。

お礼日時：2005/09/21 15:36