ふとした疑問があります（総合的な問題）

　単位円に内接するＮ角形があります
　
　その図形のそれぞれの角に中心から補助線を
　引いてＮ個の三角形に分けそれぞれの面積を
　合計します。

　上の合計をＮを使って表したいのです　　－疑問１

　そしてその式を
　lim　　Ｎを使って表した式
　n→∞
　とするとその値はπになると思ったのですが
　なぜかなりません　　　　　　　　　　　　－疑問２


　これはＮで表す過程で間違ったのでしょうか
　それとも疑問２の考えかたそのものが間違って
　いるのでしょうか？


　





　下記は私が途中まで考えてだしたＮをつかった式です。

　補助線をひいて作った三角形の底辺は
　２sin１８０／Ｎ　　　　　　　　　　　－１
　補助線をひいて作った三角形の高さ
　cos１８０／Ｎ　　　　　　　　　　　　－２

　これらを合計すると
　１×２×１／２×Ｎ（個数）＝
　sin１８０／Ｎ・cos１８０／Ｎ・Ｎ＝
　Ｎ／２sin３６０／Ｎ

　以下ギブアップです

No.3 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2001/12/04 02:20

まず、limをとるんだから、角度の単位はdegreeではなく、radianで表記すべきです。

よって、S=(N/2)*sin(2π/N)
あとは2π/N=θとおいて、nagataさんのおっしゃる式を用いればOKでしょう。
ちなみにその式の左辺は、f(x)=sinxとおいたときの、lim_{θ→0} {f(θ)-f(0)}/(θ-0)なので、微分の定義よりこれは{ f'(θ)|θ=0 } = cos0 = 1となります。

No.2 回答者： sumou111 回答日時： 2001/12/03 19:18

N個の三角形を2個の直角三角形に分け、合計2N個の直角三角形を作る。

2N個の直角三角形の各々の中心角はπ/N。
直角三角形の底辺の長さはcos(π/N)、高さはsin(π/N)。
直角三角形の面積は2N×cos(π/N)×sin(π/N)×1/2 = {N×sin(2π/N)}/2。

　　　　　　　　↓

lim {N×sin(2π/N)}/2
N→∞

= lim {sin(2π/N)/(2π/N)}
N→∞

= lim (1/π)
N→∞

= lim π
N→0

=　π


途中計算は自分で取り組んでください。

No.1 回答者： nagata 回答日時： 2001/12/03 18:49

lim sinθ/θ=1を使えば良いのではないでしょうか。

θ→0

後はN＝2π/θと置くとうまく行きます。

上の式が何で成り立つかは忘れました。ごめんなさい。