あみだくじ

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質問者：TaTooEver
質問日時：2001/12/05 10:59
回答数：6件

あみだくじをして感じたのですが
どうしてあみだくじはそれぞれ別のところにたどりつくのでしょうか？（あたりは一つしかでないこと）

これって数学で証明できるのでしょうか？

おわかりになるかた仕組みをおしえてください

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回答 (6件)

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No.6

回答者： hismix
回答日時：2001/12/11 10:38

あみだくじというものは数学で言う代数の置換に相当するもので、

数学的な証明をすることが可能です

準備
まずn本の縦線があると仮定していいでしょう
それを左から1,2,3,・・,nと呼ぶことにします
ここである番号mとm+1に横線があったとしましょう
するとこの横線によって1,2,3,・・,m+1,m,・・,nとなることは容易にわかります
このようにある文字とある文字を入れ換えることを置換といい、
(m,m+1)と書きます。
この表記を用いて上の結果を書くと
このあみだくじは(m,m+1)の置換操作を行うことと同値になります
では横線が上から順にmとm+1,kとk+1の２つにあったときはどうでしょう
同様にこのあみだくじは(m,m+1)(k,k+1)という置換をしていることになります
このときのカッコの順番は意味があり、
左から順番に作用していることを意味しています

ここまでの準備を踏まえて一般的な場合を証明しましょう

証明
あみだくじの横線が上から順にm1とm1+1,m2とm2+1,・・,mkとmk+1の間にあると
しましょう。するとこのあみだくじは置換の積によって次のように表記できます。
(m1,m1+1)(m2,m2+1)・・(mk,mk+1)
ここで置換という操作は全単射です
全単射の積も全単射ですからこのあみだくじの置換は全単射であることが
わかります。
以上より１つのあたりくじは必ず１つしか当たらないってことがわかります■

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No.5

回答者： jentle
回答日時：2001/12/09 22:12

難しく考えると俺にもわからないんで、簡単に考えてみました。

あみだくじを書くときって始めに何本か縦線をひいて、その後に横線を入れていきますよね。この横線を入れるとき、一本いれるごとに２つの縦線の行き着く先が入れ替わります。って事は何本横線を入れても、ずーっと行き着く先を交換しているだけだから違うところから始めたものは必ず違うところにたどり着くことになります。
こんなもんでいかがでしょうか。

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No.4

回答者： ymmasayan
回答日時：2001/12/06 23:39

＞　これって数学で証明できるのでしょうか？

数学での証明というよりも論理学的説明になってしまうかも判りませんが。
過去の「回答」というのは交換の説明のことだと思います。そんなに難しくありませんよ。

まず２本の縦線を考えます。それぞれあたりは１個ずつです。
横線を１本引きます。当たりが入れ替わります。
あとは縦線を増やしても横線を増やしても構いません。
横線を１本増やすごとに、その隣同士の縦線のところで当たりが入れ替わるだけです。つまり、同じ当たりが重なることは絶対ありません。

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No.3

回答者： nozomi500
回答日時：2001/12/06 09:09

もし、同じところに、別々のところから到達するのなら、

下から「逆」にたどる時に、ひとつの到着点（あたり）からどうやって、別の（複数の）出発点にいけるのか？ということになります。

このほうが、もっと簡単じゃないですか？

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No.2

回答者： starflora
回答日時：2001/12/05 11:39

　　過去の回答は、少し見たことがありますが、何か複雑なことを言っていたと思います。非常に簡単に証明できます。従ってここで回答を記します。よく考えてください。
　
　　あみだくじの出発の場所は、例えば、１０個とか５個とか数が決まっています。これは別に証明に関係ないのですが。
　
　　そこで、その一つの出発点から、あみだくじの経路を辿ってください。その時、あみだくじは、「その作り方から」、右に進むか左に進むか、「必ず一つしか」「道筋」がないのに気づかれるでしょう。到着点を今度は逆に戻ってください。その場合も、戻る経路は「必ず一つしか」道筋がなく、元の処に戻って来るでしょう？
　　これで証明は終わりです。
　
　　つまり、十個出発点があれば、どのスタート点から出ても、一つの経路しか進めないのです。だから、同じ到達点に別のスタート点から出発しても辿り着かないのです（何故なら、一つの到達点に二つのスタート点があるなら、到達点から逆に戻る方法の経路が二つあることになりますが、あみだくじの作り方から、そういうことはないのです。行きも帰りも、右か左か進む方向を迷うようなあみだくじは、作り方が間違っているということです）。……十個のスタート点について、それぞれ別の到達点が必然的にある、ことになるのです。
　