No.2ベストアンサー
- 回答日時:
zはr,θの関数
rはx,yの関数
θはx,yの関数
とします。それぞれの全微分は
dz = (∂z/∂r) dr + (∂z/∂θ) dθ …(1)
dr = (∂r/∂x) dx + (∂r/∂y)dy …(2)
dθ = (∂θ/∂x) dx + (∂θ/∂y)dy …(3)
になりますが、ここまではよいでしょうか?もし不明でしたら
全微分を復習してみてください。
さて、(1)式に(2),(3)を代入すると、
dz = (∂z/∂r){(∂r/∂x) dx + (∂r/∂y)dy}
+ (∂z/∂θ){(∂θ/∂x) dx + (∂θ/∂y)dy}
ですが、変形して、
dz = {(∂z/∂r)(∂r/∂x)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂x)}dx
+ {(∂z/∂r)(∂r/∂y)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂y)}dy …(4)
ところが、zをx,yの関数と見ますと全微分は次のように書けます。
dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y)dy …(5)
(4)と(5)は等しいはずですから、次の2つの式が得られます。
∂z/∂x = (∂z/∂r)(∂r/∂x)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂x) …(6)
∂z/∂y = (∂z/∂r)(∂r/∂y)+(∂z/∂θ)(∂θ/∂y) …(7)
さて、(6)と(7)のz を消してみてください。
求めるものが見えてきましたか?
この回答への補足
回答ありがとうございます。
求めるものが見えてきました。
が、これはrがx,yのみによる関数の場合ですよね??
僕の質問ではdrの全微分(2)式に (∂r/∂z)dzを加えればよいのでしょうか??
No.4
- 回答日時:
>が、これはrがx,yのみによる関数の場合ですよね??
>僕の質問ではdrの全微分(2)式に (∂r/∂z)dzを加え
>ればよいのでしょうか??
はい、その通りです。rがx,y,zの関数として式を
書くと、とても長ったらしくなるので x,y のとき
だけを書きました。考え方は全く同じなので
もう大丈夫そうですね。
No.3
- 回答日時:
関数関係のことだけと思いますが。
x,y,zは、それぞれ、r,θ,φの関数で、
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
です。
それならば、逆に、r,θ,φは、それぞれ、x,y,zの関数です。
即ち、
r=R(x,y,z)
θ=Θ(x,y,z)
φ=Φ(x,y,z)
任意の関数f(x,y,z)は、
f(x,y,z)=g(r,θ,φ)となり、
f(x,y,z)=g(R(x,y,z),Θ(x,y,z),Φ(x,y,z))です。
つまり、関数fは、関数gであり、
gは、r,θ,φの関数であり、
そのr,θ,φは、それぞれ、x,y,zの関数です。
従って、演算子の展開は、関数の関数の微分などの展開をして、提示のものになります。
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