πの近似（1-1/3+1/5-1/7+…）について

有名なπ（正確にはπ/4）の近似式
1-1/3+1/5-1/7+…
がありますが、これについての質問です。

この無限級数表示は大変美しい式に思いますが、収束の遅さで有名でもあります。第n項を(-1)^{n-1}/(2n-1)と書くならば、直感的に言って、第n項以降の和の絶対値はだいたい第n項の絶対値ぐらいであって、したがって第n項までの和を取ったとき、第n項の絶対値ぐらいの誤差が依然として残るからです。第n項の絶対値は大抵の無限級数より圧倒的に大きく、収束が遅いというわけです。

普通、小数展開をしてみたとき、小数第m桁で真の値とずれが生じたら、有効数字はせいぜいm桁程度であろうと想像します。したがって直感的には小数第m+1桁目以降の数字にはほとんど何の意味もないものと思いがちです。ところが、上の無限級数はやや変った収束の仕方をする、とどこかの本で読んだことがありました。確か志賀さんの数学が育っていく物語、か何かだったと記憶しています。ふとそれを思い出して、計算機で数値計算をさせてみました。

たとえば、4(1-1/3+1/5+…)を1京(=10^16)項まで足すと、
3.1415926535897931384626433832795028841971693993753558209749445923078164062862089955030348253421170679821…
このようになります。真の値πは
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821…
です。既に小数第16位で真の値とずれてしまっていますが、以降の桁についても明らかに無意味な数字の列だとはとても思えないわけです。上では省略した桁以降についても延々と意味ありげな数字が続き、ところどこの桁で真の値とずれた状況が続きます。いったいどうしてこういう不思議な収束の仕方をするのでしょうか？

ちなみにだいたい小数点以下第200位ぐらいまではかなりの桁で真の値と一致しています。それ以降はまったくでたらめな感じでした。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2005/12/01 14:10

少なくとも、10^16項まで足した時に、そうなるのは、１０進法を使っているからですよね。

３進法等では、多分、そうはならないと思います。


10^16項まで足した時の誤差が、
-1/10^16+0.25/(10^16)^3+0.3125/(10^16)^5+…
のようになっている事からの類推ですが、n項まで足した時の誤差は
a_1/n+a_3/n^3+a_5/n^5+…　(a_kの絶対値は１以下？整数÷nのような形で表せる？)
のようになるのかもしれません。

だとすれば、10^16項まで足しているのが、「意味ありげな数字」が並ぶ事の理由になるのかもしれません。
同様に、10^15や10^17等まで足した時にも、「意味ありげな数字」が並んでもおかしくないですし、123456789012345項まででは並ばない事でしょう。
また、p^m項まで足したものを、p進法で表記した場合にも、「意味ありげな数字」が並ぶのかもしれませんね。

いずれにせよ、10^16項まで足した場合だけではなく、
(もし可能なら)他の場合についても検証してみれば、本当に「不思議な収束の仕方」をしているのか「10^16までの場合だけたまたま」なのかが分かるのかもしれませんね。(私には、検証できませんが)

数学的な根拠は一切ないので、参考になるかどうか怪しいですが^^;

この回答への補足

Pi/4 = [Sum_{k=0..n-1} (-1)^k/(2*k+1)] + 1/2*[Sum_{k>=0}(-1)^k*E(k)/(2*n)^(2k+1)]
なる公式があるそうです。E(k)は1,1,5,61,1385,50521,2702765,199360981,19391512145,…と続く数列で、実は他のところでも出てくる有名な数列のようです。オイラー数、またはsecant数、またはzig数と呼ばれ、sec x:=1/cos x のマクローリン展開の係数に表れるものと同一になるそうです。

補足日時：2005/12/02 00:21

この回答へのお礼

大変貴重なアドバイス、ありがとうございます。おっしゃるように、他のnでも誤差のnによる展開(ローラン展開？)がそのような形になることが分かりました。nにはよらないようです。0.25=1/2^2、0.3125=5/2^4、などなどと理解するとa_j=b_j/4^jの形になることがわかりました。a_jなる数列は1,1,5,61,5×277,19×2659,などとなるようです。意味のある数列なのかも知れません。わりと発散の仕方は激しくないようで、したがってn=10^rの形に取ったとき、10進展開で真のπと多くの桁での一致を見るのでしょう。同様にn=p^rの形ならば、p進展開に「意味ありげな数字」が並ぶものと思われます。問題はnによる展開がなぜこのような形で表されるのか、そしてその係数b_jのorder評価はどれぐらいなのか、等々。ただこれはとても難しい問題なのかも知れません。いくつかπの本を当たってみることにします。

お礼日時：2005/12/01 20:15

No.1 回答者： age_momo 回答日時： 2005/12/01 10:20

とりあえず数学として原因を考えれば

π=4Σ[1,∞](-1)^{n-1}/(2n-1)

π‐4Σ[1,10^16](-1)^{n-1}/(2n-1)=10^-16*1.00000・・・・

ということですので問題は

4Σ[10^16+1,∞](-1)^{n-1}/(2n-1)が
10^-16*1.00000・・・・になるかどうかになりますね。
というか計算結果からなるのでしょうね。
相変わらず、収束は遅そうですがw

こういう計算が1.000・・・×10^mになりやすいから
この無限級数は不思議な収束をする事になるのでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。とても不思議です。

お礼日時：2005/12/01 20:01