振り子運動における物体のt秒後の速さと位置について

図がなくわかりにくくて、申し訳ございません。
　支点から物体の重心までの距離をr、物体に働く重力加速度をg、鉛直線と糸のなす角度をθ、物体の速さをv、物体の接線方向に働く重力加速度aとすると
　a=gsinθ・・・(1)
　また、角速度をαとするとα=dθ/dt、角加速度をβとするとβ=dα/dt、β=d^2θ/dt^2となります。また、v=rα、a=rβと表せるので、(1)より
　rβ=gsinθ
　となります。ここで、β=d^2θ/dt^2より
　rd^2θ/dt^2=gsinθ　となると思うのですが、ここから上手く展開できません。
　どなたか別の方法でも構いませんので、アドバイスよろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2006/03/06 05:28

ん！？？？

マルチポストですね。
同じの２つ質問すると、片っ方が、ここのスタッフに削除されちゃうんですよ。

私、せっかく書いたのが消されるのは嫌なので、こちらにも書いときます。


ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

まず、
振り子は、物体の位置と復元力とは逆方向
つまり、a と θ は逆方向ですので
a=－gsinθ
です。


θが小さいとき、
sinθ ≒ θ
という近似が成り立ちます。（ただし、θの単位はラジアン）

つまり、
a ＝ －gθ
です。

物体の変位ｘは、（位置は）θに糸の長さｒを掛けて
ｘ＝ｒθ

です。
加速度ａはｘを時間ｔで２回微分したものなので、
ａ　＝　ｒdθ^2／ｄｔ^2　＝　－gθ

ここで、θはｔの三角関数であることが既知であれば
θ＝sin（ωｔ＋Ｃ）
（ωは、角速度です。）
１回微分　dθ／ｄｔ　＝　ω・cos（ωｔ＋Ｃ）
２回微分　dθ^2／ｄｔ^2　＝　－ω^2・sin（ωｔ＋Ｃ）

上述の通り
ａ　＝　ｒdθ^2／ｄｔ^2　＝　－gθ
ですので

ａ　＝　－ｒ・ω^2・sin（ωｔ＋Ｃ）＝－ｇsin（ωｔ＋Ｃ）

よって
ｒω^2　＝　ｇ
となります。

ここまで来れば、大丈夫なのでは。



なお、複素数の指数関数を知っていれば
sin（ωｔ＋Ｃ）より、ｅ^i(ωｔ＋C)
のほうが楽なんですけどね・・・

この回答への補足

　ご丁寧なご説明ありがとうございます。
　sinθ ≒ θ　と近似するのですね。なるほどー。
　ところで、
　「θはｔの三角関数であることが既知であれば θ＝sin（ωｔ＋Ｃ）」の点がどうも理解できません。
　もし、宜しければ、アドバイス宜しくお願い致します。

補足日時：2006/03/06 13:51

No.7 回答者： sanori 回答日時： 2006/03/10 19:40

＜＜＜引用始まり＞＞＞

私は「角速度（ω）とは円運動における単位時間当たりの中心角の速度変化である」と理解しておりました。しかし、振り子運動における角速度（ω）とは「１周期がどれだけ速いペースで進むか＝位相速度である」ということであり、「振り子運動をしている中心角の単位時間当たりの速度変化ではない」ということで、角速度（ω）の意味が回転運動をしている場合と振り子運動の場合では少し意味が異なっているということになりますか？
＜＜＜引用終わり＞＞＞


なるほど。

＃６さんが
「高校物理の教科書をよく読んでみると、ωは「角振動数」と表記されていました。」
と指摘されていますね。

「角振動数」。これは、いい言葉だ！


私は、当初から
「θはｔの三角関数であることが既知であれば θ＝sin（ωｔ＋Ｃ）」
と置いていますが、

２πｆ＝ω　と置いて

θ＝sin（２πｆｔ＋Ｃ）

という書き方も出来ます。
このとき、ｆを「周波数」または「振動数」と呼びます。

たぶん、この用語、聞いたことありますよね？
そして、ｆと周期Ｔとは、互いに逆数、つまり
　ｆＴ＝１
です。
たぶん、そのほうがポピュラーなような気がします。


ですから、私も、最初の回答を書くときに、ωでやるかｆでやるか、ちょっと迷いました。

ただ、
ｆを使っちゃうと、微分１回やると、sinの前にπが、２回微分すると、πの２乗が出てきてしまいます。
それが煩わしいので、ωでやりました。
計算が全部終わってから、ｆ＝ω÷（２π）で振動数（周波数）を求めればよいだけなので。

角振動数ω　＝　２π×振動数ｆ


＞＞＞
「角速度（ω）の意味が回転運動をしている場合と振り子運動の場合では少し意味が異なっているということになりますか？」
---

そうですね。違いますね。
・・・しかし、とっても良く似てます！



以下、だらだらと書きますが、


【円運動】

まず、円運動について考えましょう。
ＸＹ座標の（ｘ、ｙ）を（ｒcosθ、ｒsinθ）
（ｒは半径）
と書き直し、
さらに、ＸＹ座標系を複素平面とすれば
ｘ＋ｉｙ　＝　ｒcosθ＋ｉsinθ　＝　ｒ・ｅ^(iθ）
ここで、θ＝ωｔ なので、
ｘ＋ｉｙ　＝　ｒ・ｅ^(iωｔ）

ｔで１回微分すると、速度になります。
dx/dt + i・dy/dt ＝　ｉｒω・ｅ^(iωｔ）
　　　　　　＝　ｉｒω・cos(ωｔ)　－ ω・sin(ωｔ)
　　　　　　＝　－ｒω・sin(ωｔ) ＋ ｉ｛ｒω・cos(ωｔ)｝

２つの複素数が等号で結ばれているとき、実部と虚部の両方が一致していなくてはいけないので、

速度のＸ成分dx/dt　＝　－ｒω・sin(ωｔ)
速度のＹ成分dy/dt　＝　ｒω・cos(ωｔ)

---
＜おまけ＞
ちなみに、速度の絶対値（＝回転速度）は、三平方の定理で
√｛(dx/dt)^2 ＋ (dy/dt)^2｝　＝　√［｛－ｒω・sin(ωｔ)｝^2 ＋ {ｒω・cos(ωｔ)}^2］
　＝　√｛（ｒω）^2｝
　＝　ｒω
これは、例えば、地球が太陽の周りを回っている速さです。
---

次に、
ｔで２回微分すると、加速度になります。
先程
dx/dt + i・dy/dt ＝　ｉｒ・ｅ^(iωｔ）
でしたから
d^2x/dt^2 + i・d^2y/dt^2 ＝　－ｒ・ω^2・ｅ^(iωｔ）
　　　＝ －ｒω^2cos(ωｔ） － ｉｒω^2sin(iωｔ）

やはり、複素数同士が等号で結ばれる条件より、

加速度のＸ成分d^2x/dt^2　＝　－ｒω^2cos(ωｔ）
加速度のＹ成分d^2y/dt^2　＝　－ｒω^2sin(ωｔ）

---
＜おまけ＞
ちなみに、加速度の絶対値は、
√［｛（d^2x/dt^2）＋（d^2y/dt^2）｝^2］
　　　＝　√［｛－ｒω^2cos(ωｔ）｝^2 ＋｛－ｒω^2sin(ωｔ）｝^2］^2
　　　＝　√｛（ｒ・ω^2）^2｝
　　　＝　ｒ・ω^2
これは、例えば、太陽の引力（を地球の質量で割ったもの）です。
---


【振り子の運動、単振動、弦の振動、電気回路の周波数特性などなど・・・・・・・・・】

前回までの回答でも書きましたが、一般に
dＸ^2／ｄｔ^2　＝　定数・Ｘ
という微分方程式で、それを解くと
ｅ^z
　（ただし、ｚは複素数ｘ＋ｉｙ）
の形になります。
ｅ^z　＝　ｅ^(x+iy)　＝　ｅ^x・ｅ^(iy)

ｚを時間ｔの関数とすれば、それは例えば振り子の重りの「位置」を示します。

ちょっと、はしょりますが、
上の式で、ｅ^x の 値は、１でないと、話がややこしくなるので、ｅ^x = 1 , x=0　とさせてください。

さらに、ｙをθに書き換えときます。

ｅ^z　＝　ｅ^(iθ)　（＝ cosθ ＋ ｉsinθ）

θ ＝ ωｔ　と置きます。
ｅ^(iθ)　＝　ｅ^(iωｔ)　（＝ cos(ωｔ) ＋ ｉsin(ωｔ)）

実は、これがすでに、振動を表しています。
実用的にはｉをかけていない部分（虚部）を無視して、実部だけ見れば良いのです。
cos(ωｔ) が、それです。
（なお、前回までの回答で、振り子の運動はsinで表しましたが、cosは、９０度ずれれば、すなわち、振動の開始場所を書き換えれば結局sinと同じなので、どちらでも構わないのです。）


というわけで、

振り子の振幅を、振動中心から±Ａとすれば、

重りの場所は、
Ａｅ^(iωｔ)　＝　Ａcos(ωｔ) ＋ ｉＡsin（ωｔ)
　実部だけ見れば、Ａcos(ωｔ)　＝重りの場所


これを１回微分すれば、振動の時間変化、
ｉＡωｅ^(iωｔ)　＝　ｉＡωcos(ωｔ) ＋ ｉ^2・Ａωsin(ωｔ)
　＝　ｉＡωcos(ωｔ) － Ａωsin(ωｔ)

　実部だけ見れば、－Ａωsin（ωｔ)　＝重りの速さ


さらにもう１回微分すれば、加速度
－Ａω^2・ｅ^(ｉωｔ)　＝ －Ａω^2・cos(ωｔ) － ｉＡω^2・sin
　実部だけ見れば、－Ａω^2・cos(ωｔ)　＝重りの加速度




というわけで、長くなりましたが・・・

・・・上述の計算過程をよく見ますと、

１．
三角関数を使わずに、複素関数ｅ(iθ) だけを使うことにしちゃえば、計算の煩わしさが激減することに気づきませんか？！


２．
回転運動の計算でも、振り子などの振動の計算でも、結果は、

・速度は、ω・ｅ^(iθ) の形、

・加速度は、ω^2・ｅ^(iθ) の形

になっていて、よく似てますよね？

さらに、もしも上述計算で、角振動数ωでなく、周波数ｆを使ってしまうと、計算が面倒くさくなりそうですよね？



ちなみに、
高校数学で微分積分や複素数は習いますが、
高校物理では、それらを使った解法は習わないと思います。

ところが、電気（特に工業高校の電気）では、
実は、回路の計算に「複素指数関数の微分積分もどき」を教えているはずです。
電気では「虚数単位ｉ」が、電流の記号「ｉ」と紛らわしいので、隣の文字である「ｊ」を使います。


・・・これで最終回にさせてください。（笑）

この回答への補足

sanori様。本当にありがとうございました。私は高校数学をなんとか理解している程度ですので、正直アドバイスいただいたことをすべて理解できていませんが、少しずつ理解できるように努めていきたいと思っているところです。本当に感謝申し上げます。ありがとうございました。

補足日時：2006/03/11 18:22

No.6 回答者： maekawadesu 回答日時： 2006/03/09 00:49

Ｎｏ５さんの補足です。

高校物理の教科書をよく読んでみると、
ωは「角振動数」と表記されていました。

教科書の記述は侮れませんね・・・。

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2006/03/07 10:52

引用始まり

＞＞＞＞＞
　ω は角速度を表しているということですが、実際の振り子運動では、物体が最も低い位置にある時には速度が最大になりますから角速度も最も大きいですし、最も高い位置にある時には速度が０になりますから角速度も０になり、角速度が一定ではないと思います。
　そうした時、ω の角速度とは平均的な角速度を表しているという理解でよろしいのでしょうか？



なるほど。
だけど、それは違います。

角速度とは、前回の最後に書いたことの説明になりますが、

三角関数は、中身が２π増える毎に値が同じになる周期関数であることはご存知と思います。
振り子における「角速度」とは、振れるリズムの速さ、つまり、「周期がどれだけ速いペースで進むか」というだけの意味です。
ですから、振り子の重りの速さそのものには関係ありません。
この場合の角速度は「位相速度」とも言います。
速さに例えれば、２πメートルという距離を進むのにｔ秒かかったとすれば、ω＝秒速２π／ｔメートルです。


振り子は、振れ幅を変えても、周期は変わりません。
逆に言えば、
振幅（振れ幅）を大きくすると、振り子の重り自体の速さは変わりますが、角速度は変わらないということです。
これは振り子の重要な性質です。


最大振れ幅をＡと置けば、最大の位置エネルギーは
ｍｇｒsin（最大のθ）　≒　ｍｇｒ×最大のθ

振り子の重りがどこであっても常に、運動エネルギーと位置エネルギーの和は　ｍｇｒ×最大のθ　です。
振動中心（運動エネルギー最大）での速さをｖと置けばは
ｍｖ^2／２　＝　ｍｇｒ×最大のθ
ｖ　＝　√（２ｍｇｒ×最大のθ）
となります。

さらに、もしも
片側振れ幅Ａ（＝両側振れ幅の半分）が既知であれば、Ａ≒ｒ×最大θ　なので
ｖ　＝　√（２ｍＡｇ）
となります。

ね？
ｖの計算の途中で、どこにもωが出てきませんよね？


角速度ω（および周期Ｔ）は、重力加速度ｇと糸の長さｒだけで決まってしまうので、つまり、式の中にｇとｒがあればωは不要なので、ｖの計算に無理矢理入れたところで、どこかで必ず消えてしまいます。
（例えるならば、２ｘ＋ｙ＝３　と　４ｘ＋２ｙ＝６　の連立方程式を解こうとするようなものです。）

この回答への補足

　毎回ご丁寧なご説明ありがとうございます。私は「角速度（ω）とは円運動における単位時間当たりの中心角の速度変化である」と理解しておりました。しかし、振り子運動における角速度（ω）とは「１周期がどれだけ速いペースで進むか＝位相速度である」ということであり、「振り子運動をしている中心角の単位時間当たりの速度変化ではない」ということで、角速度（ω）の意味が回転運動をしている場合と振り子運動の場合では少し意味が異なっているということになりますか？
　お手数おかけ致しますが、どうか宜しくお願い致します。

補足日時：2006/03/10 10:46

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2006/03/07 05:56

＞＞＞＞＞

「θはｔの三角関数であることが既知であれば θ＝sin（ωｔ＋Ｃ）」の点がどうも理解できません。



なるほど。


この問題の単振動などの運動は、一般に

dＸ^2／ｄｔ^2　＝　定数・Ｘ

という「微分方程式」で表されます。
この場合、Ｘがｔで２回微分されているので、「２階微分方程式」と呼びます。

この微分方程式の解は、一般に、「複素関数」の指数関数

ｅ^z

の形、および、同じ形のもの同士の和になります。
複素数というのは、純虚数と実数の和でして、複素関数とは、変数や関数が複素数になるものです。


「－１の平方根　＝　ｉ」って定義するの、学校で習いましたか？
同じものを２乗してマイナスになるというのは、高校の前半ぐらいまでの数学では、「この世の中に、そんなものない」という感じで習います。

「ｉ」は「虚数単位」といいます。
この世にそんなものないという意味で「虚」という漢字が付いてます。
上述の通り、虚数（純虚数）と実数の和を複素数と言います。
こんなものが、上記の指数関数の「ｚ」のところに入ったりしたら、とんでもないことになりそうです。

ところが
さらに、オイラーの公式というのがありまして

ｅ^(iθ）＝　cosθ　＋　ｉ・sinθ

という、世にも不思議な公式が知られています。

指数関数、三角関数、そして虚数。
無関係に見える３者、しかも、いかにも気味悪いもの同士が、実は、一つの線でつながっているわけです。

というわけで

・指数関数の複素関数
・オイラーの公式
・２階微分方程式

の３つを最低限知っていないと、「本来は」この問題は解けない、ということです。
おそらく、大学の理工系でも３年生以上でないと習わないかも。

（高校ぐらいの物理ですと、問題を解くのに微分積分さえも使ってはいけないかも？）


さて、「θがｔのサイン（コサインでもＯＫ）になりますよ」ということを授業で習っていれば、その一般形は、＃３さんも指摘されている通り、

Ｘ＝Ａsin（Ｂｔ＋Ｃ）　　ア

となります。

一回微分すれば

Ｘ’＝　ＡＢcos（Ｂｔ＋Ｃ）　イ

もう一回微分すれば

Ｘ’’＝
　ｄ^2Ｘ／ｄｔ^2　＝　－Ａ・Ｂ^2・sin（Ｂｔ＋Ｃ）　ウ

です。

ところが！

アを左右逆に書けば

Ａsin（Ｂｔ＋Ｃ）　＝　Ｘ　　エ

さらに、ウとエの両辺を掛け算すると

ｄ^2Ｘ／ｄｔ^2・Ａsin（Ｂｔ＋Ｃ）
　＝　－Ｘ・Ａ・Ｂ^2・sin（Ｂｔ＋Ｃ）

ここで、両辺をＡsin（Ｂｔ＋Ｃ）で割れば

ｄ^2Ｘ／ｄｔ^2　＝　－Ｘ・Ｂ^2

つまり、結局、
Ｂ（＝角速度）を求める問題には、Ａという係数があろうがなかろうが関係ないということがわかります！

というわけで、私は最初から

Ｘ＝sin（Ｂｔ＋Ｃ）
すなわち
θ＝sin（ωｔ＋Ｃ）

と書いたのです！
（こうしておきさえすれば、あとは、速さ、加速度は順繰り求められますから）






また、同じ周期の三角関数同士を足し算・引き算すれば、やはり、振動を表す関数になります。

たとえば

asin(xt)-bsin(x(t+c))+dsin(xt+e)-cos(xt-f)+cos・・・

といった具合です。

しかし、同じ周期のサイン・コサイン同士を幾つ足し算・引き算しても、結局、たった１個のサインで表すことが出来ることが知られています。

例えば、代表的なのは、位相を９０度（π/2）ずらした例、
sin(x)+sin(x+π/2) = √２・sin(x+π/4)
（・・・だったかな？）
こんな感じです。

つまり、今回の問題のように、振動周期が１種類であるような場合は、三角関数は、式の中に１個あれば十分であることになります。







さて、
もしかすると、
「なんでＢが角速度 ω になるの？」
という、素朴な疑問を持たれるかもしれません。

θ＝sin（Ｂｔ＋Ｃ）

三角関数は、周期が２πラジアン（３６０°）であることは、ご存知かと思います。

サインの中に入っている数のうち、Ｃは定数ですので、残りのところ、つまり「Ｂｔ」を「Ｂｔ＋２π」に置き換えたときに、ちょうど１周期後にならなくてはいけません。

一方、周期をＴ［秒］と置きますと、ｔ＋Ｔ秒後には、やはり、ちょうど同じ状況にならなくてはいけません。

つまり

Ｂｔ＋２π　＝　Ｂ（ｔ＋Ｔ）

と、なり、

Ｂ　＝　２π／Ｔ

となります。

つまり、Ｂは「１周期の時間Ｔ当たりに２π進む」ことを示す量です。
これは、角速度 ω に他なりません。
Ｂ　＝　ω

この回答への補足

　本当にわかりやすいご説明ありがとうございます。誠に申し訳ございませんが、確認させていただきたいことがあります。
　ω は角速度を表しているということですが、実際の振り子運動では、物体が最も低い位置にある時には速度が最大になりますから角速度も最も大きいですし、最も高い位置にある時には速度が０になりますから角速度も０になり、角速度が一定ではないと思います。
　そうした時、ω の角速度とは平均的な角速度を表しているという理解でよろしいのでしょうか？
　何度も申し訳ございませんが、宜しくお願い致します。

補足日時：2006/03/07 09:36

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2006/03/07 01:09

siegmund です．

> (d^2θ/dt^2) = -(g/r)θから，
> (5)：θ = A sin(ωt) + B cos(ωt)
> (6)：ω = √(g/r)
> の式の展開がどうも理解できません。

(4)　　(d^2θ/dt^2) = -(g/r)θ
を満たすような t の関数θ(t)を探せばよいわけです．
g/r はちょっと置いておくとして，
(4)の意味するところは
「t で２回微分したら，同じ関数になった．ただし負号が現れた」
ということです．
初等関数(指数関数，三角関数，べき関数，対数関数)の微分はご存知でしょうから，
そのなかから上に当てはまるものを探してみます．
べき関数や対数関数は微分すると全然違うものになってしまいます．
指数関数は？
指数関数は微分しても同じですから，当然２回微分しても同じ．
う～ん，惜しい，負号が出てこない
(実は，sanori さんご指摘のように，
複素数の指数関数にすればいいのですが)．
では，三角関数は？
sin を微分すると cos，もう一度微分すると -sin，
おっ，２回微分すると同じものになって，負号がついたぞ．
こいつはＯＫだ．
cos は？
cos を微分すると -sin，もう一度微分すると -cos，
これも条件を満たす．
というわけで，sin，cos，が条件を満たすことがわかりました．
やってみるとわかりますが，tan 等は全然ダメです．

ところで，さっき置いておいた g/r はどうする？
sin(t) でなくて，sin(ωt) としておけば，
t で１回微分して ωcos(ωt)，もう一度微分して -ω^2 sin(ωt)
ですから，ω^2 = g/r になっていればよく
(6)　　ω = √(g/r)　
としておけばいいことがわかります．

sin(ωt) でも cos(ωt) でもいいとすると，
解はどうなっているんだ？
実は，任意の線形結合
(5)　　θ = A sin(ωt) + B cos(ωt)
が微分方程式(4)を満たすことは，直接微分計算して確かめられます．
A,B は任意の定数です．
じゃあ，A,B はどうやって決める？
一番普通には，最初(t=0)のときの振り子の位置と速度で決まります．
これを初期条件と呼んでいます．
つまり，はじめにどうやって振り子を振らせ始めたか，ということです．
静止している状態からハンマーで叩いてもいいし，
振り子を持ち上げておいてからそっと手を離してもいいわけです．
位置と速度，で２要素，未知定数が A,B の２個だから，ちょうどうまく行きます．

なお，sanori さんの
θ＝sin（ωｔ＋Ｃ）
は前に振幅の係数をつけて
(10)　　θ＝θ_0 sin（ωｔ＋Ｃ）
としないといけません．
θ_0 は最大の振れ角になっています．
(10)は加法定理で分解すれば
(11)　　θ = θ_0 cos(C)sin(ωt) + θ_0 sin(C)cos(ωt)
ですから，(5)で
(12)　　A = θ_0 cos(C)
(13)　　B = θ_0 sin(C)
としたことになっていて，未知定数を A,B にするか，θ_0,C にするか，
という違いだけで，本質的には同じことです．

上の説明は，「よく知っている関数から解を探した」になっています．
他には無いのか，
たまたま見つけたような解法じゃなくてもっと系統的な解法はないのか，
など突っ込まれると多少困ります．
まあ，そこらへんをきちんとやるのにはもう少し微分方程式の知識が必要です．

とりあえず，振れ角θの小さいときだけお答えしました．
まずは，この場合をマスターされるようにおすすめします．

この回答への補足

　最近、物体の落下などを高校レベルの微分積分を使って式で求めていたところ、振り子の運動でつまづいてしまいました。このような（私にとっては）奥深いものとは全く想像しておりませんでした。
　これからも自分なりに物理現象を探求していきたいと思っております。本当にありがとうございました。

補足日時：2006/03/07 09:37

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2006/03/05 18:16

物体の接線方向に働く重力加速度 a は

θを減らす方向に働いているのですから，
(1)　　a = - g sinθ
ですね(右辺の負号)．
ここの符号が違うので，最終的には
(2)　　r(d^2θ/dt^2) = - g sinθ
あるいは
(2')　　(d^2θ/dt^2) = - (g/r) sinθ
です．

振り子の振れが小さいときには，
(3)　　sinθ≒θ
と近似して
(4)　　(d^2θ/dt^2) = -(g/r)θ
から，
(5)　　θ = A sin(ωt) + B cos(ωt)
(6)　　ω = √(g/r)
で，積分定数 A,B は初期条件から決まります．

振れが小さいという近似が使えないときは，
解は楕円積分を使って表されます．
長くなりますので，「振り子 楕円積分」で検索してみたら一杯出てきました．
例えば，
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/elliptic …
など．
(2')から上のページの(3)につなぐところまで書いておきます．

(2')の両辺に 2dθ/dt を掛けると
(7)　　2(d^2θ/dt^2) (dθ/dt) = - 2 (g/r) sinθ(dθ/dt)
になります．
(8)　　(d/dt) (dθ/dt)^2 = 2 (d^2θ/dt^2) (dθ/dt)
ですから，(7)の右辺はちょうどこの形になっています．
したがって，両辺を t で積分できて(いわゆるエネルギー積分)
(9)　　(dθ/dt)^2 = 2 (g/r) cosθ + C
　　　　　　　　　= 2 (g/r) (cosθ - cosθ_0)
がわかります．
C は積分定数ですが，後の都合でθ_0 を使って書いています．
θ_0 は最大振れ角で，振り子がぐるぐる回ってしまわないことを
前提にして書いています．
(9)の√をとると
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/elliptic …
の(3)です．
以下はそちらをご覧下さい．

参考URL：http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/elliptic …

この回答への補足

　ご丁寧なご説明ありがとうございます。
　sinθ ≒ θ　と近似するのですね。なるほどー。
　ところで、
　「(d^2θ/dt^2) = -(g/r)θから，(5)：θ = A sin(ωt) + B cos(ωt)、(6)：ω = √(g/r)」の式の展開がどうも理解できません。
　また、「(7)：2(d^2θ/dt^2) (dθ/dt) = - 2 (g/r) sinθ(dθ/dt)　(8)：(d/dt) (dθ/dt)^2 = 2 (d^2θ/dt^2) (dθ/dt)　(9)：(dθ/dt)^2 = 2 (g/r) cosθ + C　= 2 (g/r) (cosθ - cosθ_0)」も式の展開が理解できません。
　もし、宜しければ、アドバイス宜しくお願い致します。

補足日時：2006/03/06 14:04