新しい実数の構成：自然数→正の実数→実数

次のような実数の構成はあるのでしょうか？

まず、１０進法の表記により自然数を構成します。
０を含めます。

０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，
１１、１２、・・・

といった数を考えます。
ケタ数は有限です。
順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。
０～９までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。

つぎに、小数点以下を考えます。
まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても、順序関係と加法・乗法はいままでと同様です。

そして、小数点以下のケタ数が無限なる数を考えます。
順序関係はいままでに追加して、
１＝１．０００・・・＝０．９９９・・・
といったことなどを考えます。
加法と乗法の筆算も、「左から計算」していけばいいと思います。
このとき、新しく除法も考えられます。

これで、正の実数が構成できたと思いますが、
最後に、小数点以上のケタ数が無限なる数を考えます。
たとえば、
・・・１２１２．１２　
とか
・・・３３３．３３３・・・

順序関係はうまくいきませんが、
・・・９９９＋１＝・・・０００＝０
と考えると、
・・・９９９＝－１
といった意味になり、
３をかけることで、
・・・９９７＝－３
といった意味になったり、
３でわることで、
・・・３３３＝－１/３
といった意味になったりします。
また、加法と乗法の筆算は、「小数点を中心に左右へ計算」していけば整合性が得られると思われます。
そして、減法・除法も考えられると思います。
つまり、負の実数が構成されたと思います。

結局、左右に無限に続く１０進法表記で、実数とその加減乗除が構成されたと思います。

このような、実数の構成はあるのでしょうか？
また、不備がありましたら指摘ください。

No.2 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2006/05/09 16:27

アイデアは買うが、それでは無理。

要するに有理数体の完備拡大体を考えたいわけだが、それには通常のユークリッドメトリックによる完備化（実数体R）と、素数pに対するp進メトリックによるp進完備化（p進体Q_p）というのがあって、それ以外はないことになってます。

10は残念ながら素数じゃないので、そのような方法ではうまく体が構成できない。たとえば、
(・・・・・・59918212890625)^2=・・・・・59918212890625
(・・・・・・40081787109376)^2=・・・・・40081787109376
となって、x^2=xの解が、x=・・・・・・0000、x=・・・・・・0001以外にもx=・・・・・59918212890625、x=・・・・・40081787109376というものが存在することになる。ここであげた・・・・・59918212890625と・・・・・40081787109376という組み合わせはなかなか面白くて、足して1、かけて0になる（左に無限に続く）2数となっている。要するに有理数の10進完備化は体にはなっていないのです（体ならば特に整域であって、因数分解は一意的でなくてはならない。したがって2次方程式に解が3個以上存在していはいけない。）

以下、おまけ。・・・・・59918212890625をどうやって求めるか。ようするにx^2=xとなるxを見つけたい。
0～9の中で2乗しても1の位が変わらないものは、0,1のほかに5と6がある。そこでまず5に注目する。5を2乗すると25になる。したがって25を2乗したものは下二桁が必ず25と変わらない。そこで25を2乗する。すると625になる。よって625を2乗したものは下三桁が必ず625となって変わらない（ただの中学数学で簡単に証明できる）。625の2乗は390625だから、この下四桁0625はやはり2乗して同じ下四桁を持つ。そこで0625を2乗して390625だから、下五桁90625は2乗して同じ下五桁を持つ。あとはこれを延々と繰り替えすことができるから、無限に左に続く、べき等元が得られる。通常の実数なら、0と1以外にそんな数はないが、左に無限に続いてもよい（これは要するに左に行けば行くほどその数がある値に収束するという意味であって、普通のユークリッドの距離とは異なる距離概念）から可能になってしまう。

このアイデア自体はちゃんと数学になっていて、Z/10Z、Z/10^2Z、…の逆極限という環として10進整数と呼ばれる、左に無限に続く数が定義可能。だけど素数じゃないとうまく整域にならないのです。したがってうまく商体を考えられない。整域だったら、p進整数から、p進体が出来ます。興味があれば、p進体などを勉強されてみるとよいと思います。参考URLの『p-進数の世界(pdf)』が秀逸な記事だと思います。

参考URL：http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
実数体Rはいわば、少数点以下に無限に数字が続いたもの、p進体Q_pはいわば、少数点以上に無限に数字が続いたものと考えられますが、p進数で考えても、それらの共存は無理ということでしょうか？
ユークリッド距離とp進距離とは整合性がなさそうですが、でも、小数点以下と小数点以上とを分けて、組と考えて、共存させたい気もしますし。
ウィキでローラン級数を見てみると、Σ[n=-∞,∞]a_n(z-c)^nというのがあるので、それの類似もある気もしますし、どうなのでしょうか？
また、自然数→（組）→整数と有理数→（極限）→実数に対し、ここでは、自然数→（極限）→0～1の実数とp進体→（組）→負も含めた実数　となってほしい気がしますし。

お礼日時：2006/05/09 22:31

No.3 回答者： adinat 回答日時： 2006/05/09 23:26

無理。

p進距離で発散するから。ちなみにローラン級数は普通、負ベキの係数は高々有限個をのぞいて0を仮定します。でないと局所的には正則関数/0という式になってしまうから。ローラン級数は特異点においては形式的な意味しかないので、ローラン級数に特異点での値を代入してそれに意味を持たそうなどと考えないほうがいい。両側に発散する列を考えたければ、たとえば小数奇数桁を順に右に、小数偶数桁を順に左に書いていくというような方法で、{0,1,2,…,p-1}^Zに同値類を入れて数のように扱えなくもないが、計算が煩雑になるだけで何の意味もない。

数学は別に自由にものを考えてもいいけれど、ただ闇雲に話を広げても何の得にもならないし、そういうことはあまり考えないほうがいいと思う。

発散する数をも含む分けの分からない数学を構成したいというなら、そういうことを考えてみるのも一つかも知れないが（分け分からないと書いたけど、100年後に意味のある数学になってたりしてｗ）、単に負の数を構成したいなら、なんらそうする必要はないし、第一、繰り上がりの処理を小数点で逆転させる必要がある以上、まともな数学になりえないように思う。

この回答へのお礼

再度ありがとうございます。
たいへんよくわかりました。
ウィキで発散と検索して、繰り込み理論にたどり着きました。
もちろん今回の件とは別だと思いますが、興味が広がりました。
本当に感謝です。

お礼日時：2006/05/10 00:17

No.1 回答者： Trick--o-- 回答日時： 2006/05/09 15:06

…９９９＋１＝１…０００…≠０

ではないのか？