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- 回答日時:
いえません。
たとえばf=g=有理数なら1、無理数なら-1という関数とすると、fg=1で連続ですが、fもgもすべての点で不連続点になっています。またこれほど極端な反例でなくても、fの不連続点とgの零点が一致しているような点ではfgが連続になりうることもあります。とかく分解できるからといって、f,gが連続なんてとてもいえません。
では、fgが連続、かつfが連続だったらgは連続か?ということが気になったりしますが、これも正しくありません。たとえばg=1/x(原点ではf=0とでもしておく)とすると、これは原点で不連続な関数です。f=x^2とおけば、fもfgも連続関数になりますが、gは連続ではありません。
次の主張なら正しいです。fgが点x_0で連続とする。fがx_0で連続かつ、f(x_0)≠0なら、gも点x_0で連続。このことは1/fが点x_0で連続であることから、積の連続性で直ちに証明できますよね。したがってこれを使えば、たとえばf>0であれば、fg連続かつf連続なら、g連続はいえたりします。
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