x^2 + (a+b)x + abのaとbを求めるのが苦手

数学が全然わからない親ですが、教科書を見ながら中３の子供の勉強を見ていて、因数分解で悩んでいます。

例えば、x^2 + 6x + 8を因数分解したい場合、和が6で積が8になる2数aとbを知るコツってないのでしょうか？　「積が1と8ではどうか、-1と-8ではどうか…」と地道に当たっていくしかないのですか？　大きい数字になると時間が掛かります。勘を磨くしかないのですか？

よろしくお願いします。

No.17 ベストアンサー 回答者： ozunu 回答日時： 2006/09/01 21:45

>2*3*5じゃ195にならないなあ。

では、2*3*7はどうか
アプローチの方向が全然逆です。
195で言うと、１の位が5だから、5で割り切れる。39は3で割り切れる。残った13はもう割れない。
よって、195=5*3*13
・・・解ってて、わざと言ってる？・・

この回答へのお礼

＞・・・解ってて、わざと言ってる？・・

ごめんなさい、本当にそういうレベルなんです。誇張でも何でもありません。そして、やっと仕事が片付いたので、改めて息子の教科書を見てみたら「因数分解」の直前に「素因数分解」をやっていたんですね！　そして、「素数」と「素因数分解」は密接に関係しているのですね。教科書の見方が間違っていますね、私。最初に「１の位が5だから、5で割り切れる」と考えるのがなぜなのかも、これを書いていてやっと気付きました。ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/03 00:50

No.18 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/09/05 21:54

#16の者です。

ある方から、中学校では因数の定理を学ばないとの指摘を受けましたが、簡単に分解する方法があればお知りになりたいとのご要望と受け止め、述べております。

例として挙げられた、x^2 + 6x + 8を因数分解する場合、この式を 0にするであろう数を探します。
x は負の数でなくてはなりません。そして-1 は、元の式をお0にするには余りにも小さすぎる事が分かります。それで、-2を入れてみると、
(-2)^2 + 6・(-2) + 8 = 0 となります。

x=-2 は、x+2=0 と同じ事ですから、これにどんな数を掛けても、（xであろうがyであろうが）どんな関数を掛けても0になります。
つまり、掛けられる「どんな関数」に当たるものをA としますと
A・(x+2)=0 となります。
だから、x^2 + 6x + 8 が A・(x+2) と表わせることを
示していることになります。
一方、x^2 + 6x + 8 を分解する時に、折角、(x+2) という式を求めましたので、与えられて式を、先ず x・(x+2) と、余りの式を (x+2) を使って表わすことを考えます。
その余りの式は、4x+8 ですので、4・(x+2) と表わせて、
結局、x^2 + 6x + 8 = x・(x+2)+4・(x+2) と表わせることが分かります。
ここから、もう一つの因数が (x+4) であることが分かります。
このような方法は、まだ習われていないかもしれませんが、どのようにして足して6、掛けて8の数を見つけるか、という問題の参考になると思い、投稿した次第です。

この回答へのお礼

わざわざ、とてもご丁寧にありがとうございました。なるほど、なんとなく、理屈はわかったような気がします。しかし、私の説明が曖昧だったのですが、今、子供が学んでいる章は、例えば、「x^2 + 6x + 8を(x+2)(x+4)にすることによってxを求める」ことを最終目的としているような部分があるので、先にこうしてxを求めてしまうと、ちょっと本末転倒というか。私の理解が正しければ、やはり、今の章をしっかりやっておいてこそ、説明してくださったやり方が、活きてくるように思います。

お礼日時：2006/09/06 21:18

No.16 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/09/01 21:24

x に適当な数値（これを a とします）をいれて式を求め、それが 0 になれば、

元の二次式（二次式に限りませんが）は、x-a で割り切れます。
こうして一つの一次式が分かると、定数項の値からもう一つの項が求められます。
この始めにどんな数値を代入すればうまくいくかは、勘に頼るしかありませんが、
たとえ代入した後の値が 0 にならなくても、どれだけ外れているかが分かれば、
次にトライする時はより正確に求められるでしょう。

この回答へのお礼

すみません、何せ、自分が中学時代に１ケタ台の点数しかとれていなかったので、おっしゃっていることが、よくわからないのですが、いずれにしても、「ｘに仮の数字を入れた上で、またあとで、本当のｘを求める」という説明が子供を混乱させないかなという気はしています。ちょっと研究してみます。ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/03 02:50

No.15 回答者： ozunu 回答日時： 2006/09/01 15:02

和が28

積が195

195=3*5*13

和が28になるのは、
3*5=15と13の組み合わせ。

いくらか見通しが良くなるのでは？

この回答へのお礼

再登場ありがとうございます。つまり＃９で書いてくださった「素数」を使う方法がこれですね。素数を６つくらい覚えておけばできるわけですね。ただ、「195=3*5*13」に至るにはどうしたらいいのでしょうというか、私なら「2*3*5じゃ195にならないなあ。では、2*3*7はどうか」と延々とやってしまいそうです。そもそも素数の活用の仕方が、よく分かっていないかもしれません。ちょっと研究してみます。

お礼日時：2006/09/01 16:05

No.14 回答者： 8942 回答日時： 2006/09/01 12:21

a＋ｂ＝６

ab＝８
縦軸にa,横軸にｂをとって二つのグラフを書いて交点の値を探る

をグラフに描いて交点をもとめてみては？
おおよその見当をつけるだけでよいから適当なフリーハンドの作図でも出来るんじゃない？

この問題ならすぐに２と４が候補にあがるはず

この回答へのお礼

なんだか、すごくいいアイディアのような気がしますが、グラフの書き方が見当も付かないので研究してみます。ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/01 14:06

No.13 回答者： yanasawa 回答日時： 2006/09/01 07:55

　積から考えて、後はこつこつです。

そのときｘの係数の符号もヒントになります。

　それをここでいいたいわけではなく、割り算の筆算はいくつを立てたらいいか、どうやってやっていますか？　習いたての頃は相当外れた数だったかもしれませんが、今はだいたい当たるか、外れても１違いでしょう。それと同じです。こつこつやっているうちに、コツをつかんでだんだん慣れてくるものです。
　数字当てクイズですね。

この回答へのお礼

＞積から考えて、後はこつこつです。そのときｘの係数の符号もヒントになります。

スッキリわかりやすくまとめてくださいました。確かに割り算と重なる“ノリ”は感じましたが、やっぱり割り算は１つの数字を、しかも１桁ずつ割れば済むしな～、なんて、ちょっと思ってしまいます（笑）。でも、割り算を乗り越えた気持ちを大切に、因数分解も頑張りたいと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/01 08:55

No.12 回答者： orange-13 回答日時： 2006/09/01 07:11

結果から言えば、こつこつ勘を頼りに　ですね。

んが、例えば。

和が10の場合。それぞれの積をとると、、
1×9＝9
2×8＝18
3×7＝21
4×6＝24
5×5＝25

じゃあ、積が24の場合では。それぞれの和は、、

1＋24＝24
2＋12＝14
3＋8＝11
4＋6＝10

見てもらえれば分かるかと思いますが。
積では、二つの数字が近いほど答えは大きな数になります。
和では、二つの数字が近いほど答えは小さな数になります。

これをヒントに、勘を頼りに。


例として、和が28で積が195のa、bは？

まずはテキトウに20と8で試してみます（もちろん10と18でも可）。

　　20＋8＝28　20×8＝160

ここで、積が問題の数195　よりも小さい数160になりました。
つまり「積では、二つの数字が近いほど答えは大きな数になります」ので
答えはもっと二つの数が近い。ということになります。

それじゃあ、20と8よりも二つの数を近づけて　18と10　だとどうか。
（計算しやすいので　18と10　を選んだまでです。）

　　18×10＝180　＜195

なので、もっと二つの数は近い。
そうやっていけば、答え13と15に辿りつけると思います。

計算問題は、たくさん計算して慣れることが大切です。

この回答へのお礼

＞積では、二つの数字が近いほど答えは大きな数になります。
＞和では、二つの数字が近いほど答えは小さな数になります。

なるほど！　＃８さんの論理を更に整理したものですね。上記の性質を丸暗記しておけば、こつこつ勘を頼りにするのが楽しくなりそうです。ありがとうございました。自分でもこうした性質をどんどん見つけられるようになるといいと思っています。

お礼日時：2006/09/01 08:02

No.11 回答者： wind-sky-wind 回答日時： 2006/08/31 23:38

　基本的には積から考えればいいです。

積が60であれば，
1 60
2 30
3 20　和が23になります。
4 15
5 12
6 10
ここで，あとは数字が入れ替わるので終わり。8×8＝64から目安をつけます。
和が23なら，60や30は最初から除外してもいいです。

この回答へのお礼

積から考えたほうが無難なようですね。

＞和が23なら，60や30は最初から除外してもいいです。

確かにそうですね！　これは参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/01 00:32

No.10 回答者： talepanda 回答日時： 2006/08/31 23:26

すみません。

＃８の最初の方

＞積が６０となる組み合わせよりも和が２３となる組み合わせの方が少ないので

は間違いで、逆です。

積が６０となる組み合わせの方が和が２３となる組み合わせよりも少ないので

でした。

この回答へのお礼

承知しました。

お礼日時：2006/09/01 00:29

No.9 回答者： ozunu 回答日時： 2006/08/31 23:26

積の方を素数にまでばらしてみると言うのも考え方としてはあるかと思いますが、一桁同士の和と積なら少し演習すれば、ほぼ直感で出てきます。

この回答へのお礼

一桁同士なら確かにそうですね。ちょっと質問の書き方が悪かったと反省しています。ありがとうございました。

お礼日時：2006/09/01 00:28