万有引力とガウスの法則の関係について

「地球が中空の球殻だとすると、人間は球殻の内壁に立てるか」
という問題についてですが、その回答が
『万有引力もガウスの法則に従うので、球殻の内部では万有引力は０である。したがって、宇宙船の中のような状態になる』
とありました。言っていることはなんとなくわかるのですが、万有引力とガウスの法則の関係性がよく理解できていないせいか、いまいちピンときません。このことについてもう少しわかりやすく教えていただけないでしょうか。よろしくおねがいします。

No.2 回答者： noname#24129 回答日時： 2006/11/08 15:24

ニュートンは『ブリンキピア』でこれと同類の問題を解いていたと思います。

記憶をもとにして、私の言葉で説明します。

球殻内部の一点Ｐから、そこを頂点として、針のようにとがった円錐形で、灯台の光のように逆方向に光を出すと、球核の内部に照らされた微小面が２つできます。これらの面積をそれぞれＳ1、Ｓ2、また、点ＰからＳ1、Ｓ2への距離をＲ1、Ｒ2、さらに、それぞれの円錐で切り取られる微小球殻部分から、点Ｐにおいた質点が受ける引力の大きさをＦ1、Ｆ2とすると、

　Ｆ1：Ｆ2＝Ｓ1/(Ｒ1^2)：Ｓ2/(Ｒ2^2)
　Ｓ1：Ｓ2＝(Ｒ1^2)：(Ｒ2^2)

なので、Ｆ1：Ｆ2＝１：１である。第一式のＳ1、Ｓ2の部分は本来微小球殻の質量ですが、密度、厚さが一定であれば、その微小円柱の質量は、面積に比例します。

この灯台の光をどの方向に向けたとしても、Ｆ1：Ｆ2＝１：１がいえるので、点Ｐに働く球殻からの引力の合力は０となるのです。

ただし、これは、球殻の厚さが半径に対して無視できるほど小さい場合の近似のような気がします。要するに、切り取られる微小球殻が相似な円柱とみなせればの話で、分厚い球殻の内側に、ちっぽけな人間が立つ場合どうなるのか自信はありません。

一方ガウスの法則を根拠に説明する場合、ちっぽけな人間の質量による重力場が球殻内面で面積分するとどうなるかということになるのではないでしょうか。重心である腰のあたりに小さな球を考えて、その中に人が閉じ込められているとして、電磁気学の説明を当てはめれば、球殻内面を、人の重力場のポテンシャルで面積分したら、人の質量に比例する値になるといえるのではないでしょうか。そこから、万有引力・・・、自明ということになるんですかねぇ。分かりません。

No.1 回答者： walkingdic 回答日時： 2006/11/07 13:14

ガウスの法則とは、電磁気学で出てきますが、

ある閉曲面Ｓを考えたとき、

積分［Ｅ（ｒ）・ｎ（ｒ）ｄＳ］＝１／ε０積分［ρ（ｒ）ｄＶ］

dS:面積、ｄＶ：体積

をガウスの法則といいます。
この意味は、ある閉曲面（球体の表面でも良い）を考えたときに、閉曲面を横切る電気力線は、閉曲面の内部の電荷量に等しいという意味です。
逆に言うと閉曲面の中に電荷がない場合には、電気力線もありません。

これを重力に当てはめると、重力線と質量になります。

つまりある閉曲面の中に質量がなければ閉曲面を重力線が横切ることはありません。この意味は重力線が存在しないということであり、言い換えると、重力がないということです。