万有引力の位置エネルギー

万有引力の位置エネルギーは何故無限遠を基準としなければならないのでしょうか。地球の中心を基準としてはだめなのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/11/12 07:03

♯3です。

一部訂正。
地球の中心では位置エネルギーは発散すると書きましたが、
これは間違いでした。地球内部の位置エネルギーは
-GMm/rという形ではないからです。
結論を言うと地球の中心を基準に取ることも可能です。

その場合、どうなるかというと、
F(r)=-Gmr/R^3[0≦r≦R]
F(r)=-GMm/r^2[r≧R]
で積分することになります。
r<Rでは、つまり地球の内部では万有引力の大きさは、
その位置より内側にある質量しか寄与しないのです。
よって、内部では、F(r)=-GMm/r^2のMを、
M→4πr^3ρ/3=r^3M/R^3と置き換えなくてはなりません。
なお、Mはちきゅうの全質量。詳しくは参考URLを。

結局、整理させてもらうと、F=-GMm/r^2という式は
『地球の表面より外』にしか使えないから、発散も何もない。
この式のみを使う限りにおいて、中心を取るということ自体がない、ということになります。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2254852.html

No.4 回答者： ht1914 回答日時： 2006/11/10 22:42

無限遠方では引力の影響がなくなります。

位置エネルギーの基準を無限遠に取れば重力の影響を表す事が出来ます。

No.3 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/11/10 11:01

地球"表面"を基準に位置エネルギーをとるのは、

重力をmgと近似できる高さのときに多いと思います。
重力に逆らって、上向きにmgの力で距離h移動すると、
U=-∫-mg・dy[y=0～h]=mghです。

万有引力の場合、"地球表面"を基準に取ることは可能です:
U(r)=-∫-GMm/r'^2・dr'[r'=R～r]
=GMm[-1/r'](r'=R～r)
=-GMm(1/r-1/R)
r:地球の中心からの距離、R:地球の半径
別にRは宇宙空間のある点でもかまいません。そこが基準となります。

このR→0とおけば地球の中心が基準になり、位置エネルギーは
発散します。つまり好ましくないです。
R→∞とおいたら、無限遠方が基準となり、U(r)=-GMm/rです。
無限遠方を基準としつつも、"中心からの距離"rを使っている
から多少ややこしいですね。

「普通は無限遠方を基準に取る」と教科書等でよく書いてある"普通"の意味は、
"中心ではなく"というニュアンスではなく、宇宙空間のある点：中心から距離R(地表面も含む)の点ではなく、というニュアンスだと思います。何故なら、-GMm(1/r-1/R)というように無限遠方を基準に取らなければ、項が二つ出てきて煩雑になるからです。

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2006/11/10 05:32

>万有引力の位置エネルギーは何故無限遠を基準としなければならないのでしょうか。

解く問題によっては、そのほうが便利だからです。

>地球の中心を基準としてはだめなのでしょうか？

構いませんよ。実際、人工衛星とかを考えるときは地球の中心が基準となる場合が多いですし、地表で物を放り上げるといった類では地表面を基準にとります。

要は、問題を解きやすいように自由に基準を設定してよいのです。

No.1 回答者： physicsache 回答日時： 2006/11/10 00:51

万有引力は、r=0付近で無限大ですから、

基準を中心にすると、位置エネルギーはどこでも無限大になってしまいますよ。

位置Rでの位置エネルギーは、
U(R)=∫[0→R]dr{GMm/r^2}
=-GMm(1/R)+GMm×∞

基準を無限遠にすれば、U(R)=-GMm/R+GMm/∞=-GMm/R