こんにちは。正規分布 X~N(0、s)の時、E[X]=0, Var[X]=sとなり、そこからE[X^2]=sとなると思います。ここまでは分かったのですが、E[X^4]=3*s^3をもとめたいのですが、どういう方法で導くのでしょうか?これは、X^4*exp[-x^2/(2s^2)]/(Sqrt(2 Pi)*s)を積分するしかないのでしょうか?他に方法があれば教えてください。

A 回答 (2件)

正規性を検定する時に使われる尖度の期待値のことですよね。



まず、X~N(0、s)

なら

E(X^4)=3s^2

だと思います。(通常は標準偏差をσで表して3σ^4で表記されます)

求め方は参考URLの12月19日の資料:『外れ値と正規性』をダウンロードして
巻末Appendixを参照ください。

参考URL:http://homepage1.nifty.com/cuckoo/SFC02.htm
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積分しないでもできます。

ガウス分布は量子力学で調和振動子の基底状態になっています。生成消滅演算子を定義し、代数的な関係式からX^4 の期待値等を求めることができます。よく知られていることであり、どこにでも書いてあるのでここに詳細は書きません。
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