問題は、
平均値の定理を用いて、次の不等式が成立することおw証明せよという問題です。
|sin(x+h) - sinx|≦|h|
解答は、f(x)=sinxとおくと、f(x)は微分可能で、平均値の定理を用いると
sin(x+h)-sinx = cos(x+θh)h------------*
|cos(x+θh)|≦1より
|sin(x+h) - sinx|=|cos(x+θh)h |
=|cos(x+θh)||h|≦|h|
証明終わりとなっています。
ですが、私は、*のところがよくわかりません。
f´(x)=cosxだから、右辺はh*cosx
となるべきではりませんか?
どうして、cos(x+θh)hとなっているのでしょうか?
よろしくお願いします。補足が必要であれば、させていただきます。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
グラフがわからないとあったので、ちょっと補足を書きます。
[a,b]の区間で何でもよいので、連続で微分可能な関数のグラフを描きます。(2点(a,f(a))、(b,f(b))をなめらかな曲線で結ぶ。)
そして、2点(a,f(a))、(b,f(b))を直線で結びます。
この直線の傾きが(f(b)-f(a))/(b-a)ですね。
すると、曲線上のある点(c,f(c))において、2点(a,f(a))、(b,f(b))を結ぶ直線に平行な接線を引けることがわかると思います。(複数個ある場合もある)
この接線の傾きはf'(c)です。
すなわち、f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)です。
文章だとちょっとわかりにくいかも知れません。
ウィルキペディアの平均値の定理で、図が出ているのでご参考に。
度々のご回答ありがとうございます。
今、書いてみたら、できました。
ただ、cosとかsinとなるとちょっと。。。
と思ったのですが、曲線は曲線ですよね。
わかりました。度々ご回答いただきましてありがとうございました。
大変参考になりました。
No.4
- 回答日時:
>>sin(x+h)-sinx=hcosxは一般に成立しません。
>がいまいちよくわかりませんでした。
もし成立する、というのでしたら証明が必要です。成立しないというのならば反例を一つ挙げればよいのです。たとえばh=πとします。そうすると、
sin(x+π)=-sinxですから、左辺=-2sinx、
従って-2sinx=hcox=πcosx
つまりtanx=-π/2
これが任意のxについて成立することはありません。たとえばx=0なら左辺はゼロです。
もしh=0なら絶対成立することは明らかですが、今度は意味がありません。
それを(sin(x+h)-sinx)/hでh→0にしてやればcosxになってくれるのが微分の大きな意味です。
度々のご回答ありがとうございます。
今やってみると、確かにh=πでは成立しないですね。どうして成立しないのかがまた疑問ですが。どこも間違っていなければ、成立しそうなのに。。。
微分の意義がいまいち感じれないのは、勉強不足でしょうか。
貴重なご意見ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
平均値の定理は
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c)、 a<c<b
ですが、これをそのまま当てはめれば、
{sin(x+h)-sin(x)}/{(x+h)-x}=cos(x+θh)
ただし、0<θ<1
となるので、この式を整理して両辺にhをかけたものが*の式
sin(x+h)-sin(x) = cos(x+θh)h
になっています。
ちなみに、右辺のcosの中身がx+θh(=c)になっているのは、この値がx(=a)とx+h(=b)の間にあることを規定するためです。
ご回答ありがとうございます。
>ちなみに、右辺のcosの中身がx+θh(=c)になっているのは、この値がx(=a)とx+h(=b)の間にあることを規定するためです
がどうしてそれで規定できるのかわからないです。。。
すみません。
No.2
- 回答日時:
sin(x+h)-sinx=hcosxは一般に成立しません。
平均値定理とは。[a,b]で連続、(a,b)で微分可能な関数f(x)について
(f(a)-f(b))/(b-a)=f'(ξ), a<ξ<b
となるξがある、というものです。すなわちξは質問者さんの記述によればxとx+hの間に存在することになります。
ちなみに(f(a)-f(b))/(b-a)はf(a)からf(b)に引いた直線の勾配にあたります。その勾配に丁度等しい微分係数を持つ場所が(a,b)に存在する、ということです。
ご回答ありがとうございます。
ですが、
>sin(x+h)-sinx=hcosxは一般に成立しません。
がいまいちよくわかりませんでした。
No.1
- 回答日時:
そもそも、平均値の定理とは、
「f(x)が[a,b]で連続、(a,b)で微分可能のとき、
f'(c)={f(b)-f(a)}/(b-a)
を満たすc(a<c<b)が存在する。」
というものです。
すなわち、(a,b)内の点cでの瞬間変化率f'(c)で、全体の平均的な
変化率{f(b)-f(a)}/(b-a)に等しいようなものが存在するという
ものです。
質問の場合では、a=x,b=x+h,c=x+θh(0<θ<1)の場合
(x<x+θh<x+h)
グラフを描いてみれば、感覚的に分かります。
高校では厳密な証明はやりませんが・・・
ご回答ありがとうございます。
グラフとはどんなグラフかわかりませんでした。
厳密な証明はいらないですが、感覚的にわかりたいです。。。
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