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No.2
- 回答日時:
#1さんの入れ替えでよいと思います。
(ただし、式全体の符号はマイナスになると思いますが。)一番単純に積分順序を入れ換えられるのは、被積分変数xとyが独立である場合です。
しかし、この問題の場合は、yの積分範囲はxに依存して独立ではないので、積分範囲を図示して考えてみたほうが確実です。
x:1→2、y:x→x/2
これをx、y平面上に図示すると、2直線x=1とx=2と、2直線y=xとy=x/2で囲まれた範囲(ひしゃげた台形)になります。ちなみに、4つの交点は点A(1,1), 点B(1,1/2), 点C(2,1), 点D(2,2)になります。
今の積分範囲はxから見たものですが、これをyからみると、次のように2つの三角形に分解できます。
y:1/2→1、x:1→2y ・・・・△ABC
y:1→2、 x:y→2 ・・・・△ACD
これで#1さんと同じ積分範囲が求められたと思います。
最後に符号について確認します。
元の積分範囲は、
x:1→2、y:x→x/2
とxは増加方向ですが、1≦x≦2の範囲でyは減少方向になっています。
一方、yについて求めた積分範囲は、すべて増加方向になっていますので、符号が逆転します。
したがって、積分順序を入れ換えたものは、次のようになります。
(与式)=-[1/2→1]∫dy [1→2y]∫x/y dx-[1→2]∫dy [y→2]∫x/y dx
No.1
- 回答日時:
えと自信はないのですが
∫[1→2]{∫[x→(1/2)x] x/y dy}dx
これは
∫[1/2→1]dy∫[1→2y] x/y dx + ∫[1→2]dy ∫[y→2] x/y dx
で積分順序入れ替えれるのではないでしょうか?
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