各項が正の数である数列{a_n}があり、任意の自然数nについて、a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列をなし、a_2n、a_2n+1、a_2n+2はこの順に等比数列をなす。
(1)a_2nをa_2n-1、a_2n+1を用いて表せ。また、a_2n+1をa_2n、a_2n+2を用いて表せ。
(2)数列{b_n}を、b_n=√(a_2n)で定めるとき、{b_n}は等差数列であることを示せ
(3)a_1=2、a_2=4のときΣ(k=1~n)a_2k-1を求めよ
(1)はa_2n=1/2(a_2n-1+a_2n+1)、a_2n+1=√(a_2n*a_2n+2)
と求まったのですが、
(2)の{b_n}が等差数列であることを示すことができなくて困っています。(1)のa_2nを代入して隣同士の差を作ってもうまくできません。
それと(3)なのですが、a_2k-1が階差数列になると思うのですが、うまく計算できません。 答えが1/3n(n+1)(n+2)となることはわかっているのですが合わなくて・・・。
回答いただければ助かります。よろしくお願いします
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(2)
a_2n+1=√(a_2n*a_2n+2)、b_n=√(a_2n) より
a_2n+1=b_n*b_n+1 よって
a_2n-1=b_n-1*b_n
a_2n=1/2(a_2n-1+a_2n+1) より
(b_n)^2=1/2 (b_n-1*b_n + b_n*b_n+1)
=b_n/2(b_n-1 + b_n+1) b_n=√(a_2n)、a_2n≠0 より b_n≠0
b_n=1/2 (b_n-1 + b_n+1) よって整理して
b_n+1 - b_n=b_n - b_n-1 よって b_n は等差数列といえる。
(3)
a_1=2、a_2=4、b_n=√(a_2n) より
b_1=√(a_2)=√4=2
a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列を成すので n=1 のとき
a_1、a_2、a_3 は等差数列を成す。
よって a_1=2、a_2=4 より a_3=6=b_1*b_2
よって b_2=3
b_n は等差数列なので b_n=2+(n-1)=n+1
よって a_2n-1=b_n-1*b_n=n(n+1)
Σ(k=1~n)a_2k-1=Σ(k=1~n)k(k+1)=Σ(k=1~n)k^2+k
=1/6 n(n+1)(2n+1) + 1/2 n(n+1)
=1/6 n(n+1)(2n+1+3)
=1/3 n(n+1)(n+2)
よって答えは 1/3 n(n+1)(n+2)
No.2
- 回答日時:
(2) (1)の2つ目の式より、a_2n+1=b_n*b_n+1
a_2n-1=b_n-1*b_n
また、a_2n=b_n^2
これらを1つ目の式に代入すれば示せます。
(3) a_2k-1=b_k-1*b_k・・・(1)
ですから、これをk=1~nにわたって足し合わせることになります。ということはb_kの具体的な形がわからなければいけませんね。ここで、(2)を使います。b_kが等差数列であることがわかっているので、あとは初項と公差がわかればいいことになります。a_1=2、a_2=4、a_3=6、a_4=9・・・って順番に求めていけばわかりますから、これからb_kの初項と公差は求められ、b_kを具体的な式で書くことができるはずです。そしてこれを(1)式に代入すれば出てくるのではないでしょうか?
No.1
- 回答日時:
(2)
b_n+1-b_n
=√a_2n+2-√a_2n
=a_2n+1/√a_2n-√a_2n
=(a_2n+1-a_2n)/√a_2n
b_n-b_n-1
=√a_2n-√a_2n-2
=√a_2n-a_2n-1/√a_2n
=(a_2n-a_2n-1)/√a_2n
=(a_2n+1-a_2n)/√a_2n=b_n+1-b_n
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