コンデンサーの放電時間

消費電力の極小さな電子回路を、電池を使わずに、
コンデンサーに溜めた電気だけで動かそうと考えています。
コンデンサーの容量と、繋ぐ負荷と、初期電圧と、電子回路の動作する限界の最小電圧から、
動作できる時間を求めたいのですが・・・

負荷がただの抵抗なら、時定数の式を変形して自分で計算できたのですが、
非線形（近似的に、負荷は抵抗と定電流負荷の並列とします）の負荷の場合、どうやって計算したらよいでしょうか？

学生時代は、
このくらい、微分方程式からささっと解けたように思うのですが・・・
如何せん、いまでは糸口さえわからず。。（＾＾；
よろしくお願いいたします。

No.5 回答者： inara 回答日時： 2007/03/09 11:07

まだ締切られていないので補足します。

【乾電池は何Fのコンデンサと同等か】
先行質問にあった参考URL [1] から引用すると、アルカリ単三電池の容量は 2000mA・h ですので、1mA で 2000時間（ 2ヶ月と23日 ）持つわけです（あくまで目安ですが）。静電容量 1 F のコンデンサを 1 mA で放電したときの寿命（電圧が 1V 下がるまでの時間）は 1000秒 でしたので、アルカリ単三電池は 7200 F に相当する超々大容量コンデンサになります。つまり 1 F = 0.278 mA・h という関係になります。

【電流1 mA というのは、いったい何個の電子が流れているのか】
電流を時間で積分した量は電荷 [C] です（上の mA・h も電流を時間で積分したという意味）。つまり電流 1 A とは、１秒間に 1 C （クーロン）の電荷が移動しているという意味になります。電流の素である電子の電荷は 1.6×10^19 [C] ですので、1 A の電流とは、１秒間に電子が 6.2×10^18 個流れていることになります。 1 mA なら 6.2×10^15 個となりますが、実感がわきません。原子の数は 1立方mm に 10^19 個くらいありますので、その1万分の１くらいの数ということでしょうか。微小電流計では、 1 fA （フェムトアンペア =10^-15 A ) の測定が可能です。この電流では、１秒間に 6200個 という、やっとイメージできる電子数が流れていることになります。もし、1aA （アトアンペア=10^-18 A）の電流計ができたとぢたら、１秒間に６個程度の電子しか来ないので、電流を測るというよりパルス数を数えているような感じになってしまうでしょう。フェムトやアトなんてあまりなじみがない接頭語ですが、まだその下があるようです[2]。

[1] 006P電池での使用時電流は？　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2762839.html
[2] ミリ・マイクロ・ナノ・ピコ・フェムト・アト・・・　http://homepage1.nifty.com/~petronius/kana/tanwi …

No.4 回答者： inara 回答日時： 2007/03/02 19:52

ANo.3です。

まだ回答が締切られていないので補足します。
負荷が定電流(I = I0 [A])の場合、出力電圧は V(t) = V0 - I0*t/C ですが、負荷が抵抗R [Ω]の場合は、電圧の時間変化は V(t) = V0*e^{-t/(CR)} 、使用可能時間は t = C*R*ln(V0/Vend) となります。

【理由】
式(3)を t で微分すると dV/dt = - 1/C*I(t) という微分方程式になります。負荷が抵抗の場合、I(t) = V(t)/R ですから、この微分方程式は dV/dt = - V(t)/(C*R)となります。これを変形すると、1/V(t)*dV/dt = -1/(C*R)。積分すると、ln{V(t)} = -t/(C*R) + c (cは定数) → V(t) = e^c*e^{-t/(CR)}。t = 0 のとき V = V0 だから、e^c = V0。したがって、 V(t) = V0*e^{-t/(C*R)}。V = Vend のときに電池としてダメになったとすると、それまでの時間は t は、Vend = V0*e^{-t/(C*R)} → t = C*R*ln(V0/Vend)

No.3 回答者： inara 回答日時： 2007/02/27 22:17

コンデンサの内部抵抗はゼロとしていいですか？

でしたら、以下の積分方程式が成り立ちます。
Q0 - ∫[t=0～t]I(t)dt = C*V(t) --- (1)
C はコンデンサの容量[単位は F ] 、t は時間 [単位は s（秒）]です。Q0はコンデンサに充電したときに蓄えられる電荷 [C] で、充電時の電圧を V0 [V] とすれば
Q0 = C*V0 --- (2)
で与えられます（有名な式 Q = CV です）。I(t) は負荷に流れる電流で、時間的に変化しているとして、時間 t の関数として、 I(t) と表したものです（定電流負荷なら、I(t) = I0 )。V(t) は出力電圧（コンデンサの電圧）で、これも時間的に変化しているとして、時間 t の関数として V(t) と表したものです。

式(1)と(2)から、出力電圧の時間変化は

V(t) = V0 - 1/C*∫[t=0～t]I(t)dt --- (3)

となります。もし、負荷電流が一定で、I(t) = I0 （I0は定数）なら、∫[t=0～t]I(t)dt = I0*t ですから、
V(t) = V0 - I0*t/C
となって、電圧は時間に比例してリニアに下がっていきます。Cが大きければ、電圧はなかなか下がりません。電圧がVend [V] となったときに電池としてダメになったとすると、それまでの時間は、Vend = V0 - I0*t/C → t = C*(V0 - Vend )/I0
となります。C 大きいほど、負荷電流 I0 が小さいほど、電池として長持ちします。

負荷電流が一定でなく時間的に変化している場合でも、式(3)を使えば、V(t) がどのように下がっていくか計算できます。∫[t=0～t]I(t)dt は電池の容量を表す mA・hour と同じ意味ですが、時間は hour でなく、s(秒）で計算してください。最近は、スーパーキャパシタという容量が 1F というとてつもないコンデンサがありますが、それを使うと、１ｍA の負荷電流で、Vend = V0 - 1V という条件なら 1000秒持つということですね（意外に短い）。

No.2 回答者： chirubou 回答日時： 2007/02/27 15:00

「負荷は抵抗と定電流負荷の並列とします」

でよいのなら、抵抗だけの場合と低電流負荷の場合に分けて考えればいいのでは？

前者は指数関数的に電圧、電流とも減少し、後者は、時間に比例して電圧が減ります。

No.1 回答者： a-saitoh 回答日時： 2007/02/27 14:57

おおざっぱな近似で良ければ、最大電圧の時の電流が、電圧が下がっても変わらず流れ続けるとして計算したらどうですか。

それほどひどい誤差にはならないし、安全側(短めの時間)が出るので音大内とおもいますが。。。

結局実測しないと解らないんですけどね。