運動エネルギーの求め方について(積分）

仕事から運動エネルギーを積分を用いて求めると、教科書では

Ｗ　＝∫Fcosθdl　
（ｌ(エル)は距離、FcosθはベクトルＦのｌ(エル)の成分とする）
＝∫m(acosθ)dl　 （aは加速度、ｍは物体の質量）
＝∫m(acosθ)dl　　
＝∫m(dv/dt)dl　　　　（dv/dt = acosθ）
＝∫m v* (dv/dl)dl
（dv/dt = (dv/dl)*(dl/dt) = (dv/dl)*v = v* (dv/dl)）
＝∫mv dv

このようにして運動エネルギーの式
(1/2)m(後の速度)^2 －(1/2)m(始めの速度)^2を
導き出しているのですが、

上の式で（dv/dt = acosθ）こうなることが納得できません、
私は（d(vcosθ) /dt = acosθ）もしくは、（dv/dt = a）にしなくてはならないと思うですが、そしたらどちらの場合も最後までcosθが残ってしまい、
(1/2)m(後の速度)^2 －(1/2)m(始めの速度)^2の形になりませんでした。

（dv/dt = acosθ）の考え方について教えてください。この考え方はあっているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/05 09:08

この教科書は普通と違う書き方をしていますね。

この式で出てきたｃｏｓθはベクトルの内積から出てきたものです。成分と言っても構いませんが使われた文字がベクトルであるか、スカラーかが混乱すると訳が分からなくなります。運動エネルギーを仕事から導く場合、移動経路は直線であるとは限りません。θも位置によって変わります。そのθをのけてスカラーでｄｖ／ｄｔ＝ｄｖ／ｄｌ＊ｄｌ／ｄｔとしたところでおかしくなっています。記号「＊」もかけ算なのか、内積なのかが混乱しています。
ｖ＊ｄｖ／ｄｔ、ｖｄｖは内積のはずです。だからｃｏｓθが出たり入ったりしているのです。

普通は位置も速度もすべて時間の関数として考えます。時間はスカラーですからｄｌ（→）＝ｄｌ（→）／ｄｔ・ｄｔとできます。
ベクトル記号が書けませんのでＦ（→）でベクトルを表します。
「＊」はベクトルの内積を、「・」は普通のかけ算とします。

∫Ｆ（→）＊ｄｌ（→）＝∫ｍａ（→）＊ｄｌ（→）／ｄｔ・ｄｔ
＝ｍ∫ｄｖ（→）／ｄｔ＊ｖ（→）・ｄｔ
＝（ｍ／２）∫ｄ（ｖ（→）＾２）／ｄｔ・ｄｔ
＝（ｍ／２）∫ｄ（ｖ（→）＾２）
＝（ｍ／２）［（ｖ（→）＾２）終わり－（ｖ（→）＾２）始め］

ｖ（→）＾２＝ｖ＾２ですから運動エネルギーの表現が出てきます。

No.14 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/07 19:23

＞　a や v 等の文字変数が何を意味しているかに関して、質問者さんは混乱していらっしゃるのでしょう。

質問中の式は教科書の通りだろうと思います。
教科書の執筆者が混乱しているのだと思います。

＃１０で書いたことを繰り返します。

＃９での参考ＵＲＬにある図を使っている限り
加速度はｍａ＝Ｆ　ではなくてｍａ＝Ｆｃｏｓθです。従って
Ｗ　＝∫Fcosθdl　＝∫m(acosθ)dl　
ではなくて
Ｗ　＝∫Fcosθdl　＝∫madl　
です。このａに対してａ＝ｄｖ／ｄｔ，ｖ＝ｄｌ／ｄｔを使うことが出来ます。

執筆者の混乱はここにあると思っています。Ｆ＝ｍａのＦについての混乱だと言ってもいいかもしれません。この混乱はあちこちで見るものです。（参考ＵＲＬの執筆者も混乱している可能性があります。）

質問者様が混乱しているのではないと思います。正直に式を追いかけて疑問に思われたわけです。それなのに「細かいことに拘らずに」と言うことは「結果だけ覚えておいたら」と言うに等しいです。
「運動エネルギーの増加は外部からした仕事に等しい」と言葉で言っておいて、「運動エネルギーの増加は
（１／２）ｍｖ’２－（１／２）ｍｖ２
で表されます」とだけ言っているのと変わらなくなります。
　多分教科書の執筆者もそのようにして結果だけ覚えてきたのだと思います。自分で教科書を書く段になっておかしくなったのだと思います。一貫してベクトル表示で展開するというのは工学関係の教科書ではあまりやらないことです。


ベクトル表示で展開すると＃１０で書いた「束縛運動」か、＃１１で書いた「束縛運動でない運動」かの区別をしなくてもすみます。だから物理の人も参考ＵＲＬの図に違和感を覚えないのだと思います。（私も今まですっと通り抜けてきていました。）
＃２の方もこの図の問題点に気付かれたのではないでしょうか。でも上手く整理することが出来なかったように思います。
（１）「直線運動をしていれば力は進行方向に働いているはずだ」
（２）「ある方向に力が働いていれば物体はその方向に運動しているはずだ」
（１）は成り立ちますが（２）は成り立ちません。
＃２ではこれを混同して（２）が成り立つものとしてしまいました。
＃２のご回答を読んだときはまだ充分に考えがまとまっていませんでした。（１）の線で上手く話を発展させることが出来たらよかったと思っています。

No.13 回答者： masuda_takao 回答日時： 2007/03/07 17:08

　ちょっと話が錯綜しているので、元の質問者さんの問題意識に立ち返って、状況を整理してみます。

　なお、「ベクトル a」を v(a) などの様に記し、ベクトル a とベクトル b の内積を (v(a), v(b))、ベクトル a の大きさを |v(a)| 等のように記すことにします。

　最初に提示されている公式導出の計算式；
>
> Ｗ＝∫Fcosθdl
> 　＝...（中略）
> 　＝∫mv dv
>
...がやっているのは、“外力のした仕事が運動エネルギーの変化に等しい”ことを表す関係式の導出です。
　で、外力をベクトル量として v(F)、速度ベクトルと加速度ベクトル、位置ベクトルを v(u), v(a), v(x) と表すと（紛らわしさの回避のため、この記法を採りました）
F ＝ |v(F)|、dv/dt ＝ |v(a)| ＝ |v(du/dt)|、dl ＝ |v(dx)| ＝ |v(u)dt|
...です。

　No. 4 さんとかぶりますが、このとき、角θを v(dx) と v(a) のなす角とすると
Fcosθdl ＝ (v(F), v(dx))
　＝ (v(F), v(u))dt
　＝ (mv(a), v(u))dt　...[1]
...となるわけです。
　で、v(a) ＝ v(du/dt) ですから、
Fcosθdl ＝ m(v(du/dt), v(u))dt
　＝ m(v(u), v(du))
...となるわけです。
　なお、最後まで一応いっておくと、
Ｗ＝∫Fcosθdl
　＝ m∫(v(u), v(du))
　＝ m∫|v(u)|^2 dt
...です。

　ここで、[1] を改めてベクトルの大きさとなす角とを用いて表記すると、
Fcosθdl ＝ m|v(a)||v(u)|cosθ
...であり、この |v(a)|cosθ を上記では“dv/dt”というスカラー量で置いちゃっているわけですね。

　そこが混乱の原因であると思います。
　前回も申し上げた通り、（今回用いた記法を用いて言い直せば）|v(a)|cosθ という値は v(a) の v(dx) 方向の正射影の大きさです。
　a や v 等の文字変数が何を意味しているかに関して、質問者さんは混乱していらっしゃるのでしょう。

　恐らく、それだけの話ではないかと（勿論、これによって質問者さんの見識が云々とか言う意図はありません。謎解きに関する私見の披歴までのことです）。
　まぁ、そういうことなので、“dv/dt = acosθ”という解釈困難な１本の式の追及に頭を悩ますよりは、式の導出過程が何を目指しているのかを素直に理解することを目指すか、各々の変数が何を意味するかを逐一確認するかのいずれかになさるほうが、質問者さんにとっては有益かと思います。

　なお、蛇足ながら、[1] より
Ｗ＝m∫(v(u), v(du))
...という式になりますが、数学的にはこれは線積分と呼ばれるもの（詳しくは、大学教養課程レベルの微積分やベクトル解析の教科書をご参照に）で、ある曲線に添って計算するものです。で、一般にはどの曲線に添って計算するかによってこの積分の値は変化するわけです。
　しかし、外力 v(F) が位置のみの関数である場合（これを“保存力”というのでした）に限っては、経路に依存せずに値が定まります。

#なお、無粋ながら、経路積分はこれとは全く別物です。念のため。

　一つの説明で理解できない場合には、他の人がどう説明しているのかを参考にするという解決策もありでしょう。
　今回の問題意識を通じて、そんなことを改めて再確認した次第です。

　式の説明で拙いところがあれば、補足なり訂正なりを今後致そうと思います

No.12 回答者： noname#26663 回答日時： 2007/03/06 19:17

てんでわかるませーん。

＾＿＾；

飛行機の位置（ｔ）＝X軸。
重力＝Y軸。
落下速度＝切片。（強引に１次元にしてね。）

これの切片が仕事量cosθの一言で片付いているよーな。
すでに計算済み成分がW＝X軸になってるよーな。

取り合えず、今の状態で、もめてる経路積分へ行かない方が懸命かと思います。＾＿＾；

Fcosθを、X軸に持って行くのはどうでしょうか？
cosθはきえます。

No.11 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/06 09:52

ｈｔ１９１４です。

＃１０ではｗｉｋｉの図にあるような束縛運動を前提にしているのではないかという立場で書きました。

でも一般的には
Ｗ　＝∫Fcosθdl　＝∫m(acosθ)dl　
は正しいと言われるかもしれません。Ｆ＝ｍａで力の方向に加速度が生じています。

その場合は
dv/dt = acosθ　としてこのｖで運動エネルギーを表すというところがおかしくなります。
ａｓｉｎθはどこに行ったのでしょう。この加速度によっても変化する速度成分が生じますから運動エネルギーは両方を足したものでないといけないはずです。この速度成分が生じることにより徐々に方向が変わっていく事になります。θは変化します。

重力の場合で言えば
Ｗ　＝∫Fcosθdl　＝∫F（cosθdl）　
＝∫mｇ（cosθdl）
の様に重力の方向の成分で考えます。これだと向きがいろいろ変わっても力の方向での変位だけが問題であるということが示されています。重力の方向と垂直な方向の変位は仕事には関係ないということも分かります。
解答では力と加速度を運動の方向に射影していますから運動の向きが変わるということは意識されていないと判断できそうです。

この式で求めた運動エネルギーは重力の方向成分に対応するものです。重力の方向と垂直な方向の成分に対応するものは定数ですから差を取る場合には影響してきません。
力を運動方向とそれに垂直な方向に分けるということをやると定数ではなくなります。
このことからも束縛運動を前提にしていると考えることが出来そうです。

No.10 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/06 07:46

ｈｔ１９１４です。

この記述については私もハッキリとしたことは言えません。推測になってしまいます。それで書くのをためらっていました。

普通の力学の教科書ではこの様な記述は出てきません。＃１に書いたのはそれを確認したものです。

質問者様は何も書いておられませんがこれは機械工学関係のテキストではないかなと思いました。結果として同じ式を導いているが途中が「？」という記述を時々見るからです。物理ではこういう記述はしないと言っても学生は困るわけです。仕方がないので最初と最後だけで途中を飛ばして覚えてしまうということになってしまいます。

はじめの　Ｗ　＝∫Fcosθdl　の式はどこにでもある図に対応したものです。　＃９で参考に挙げて頂いたｗｉｋｉにも図が載っています。だからここからスタートしています。欲しいのはｖｄｖに持っていくことです。執筆者がｃｏｓθの処置に困ってしまったのだと思います。内積に戻して消すということは出来ません。（ｄｖ／ｄｔ）ｄｌ＝ｖ＊（ｄｖ／ｄｌ）ｄｌ＝ｖｄｖの変形のところでｌはスカラーになっています。ベクトルではｄｖ／ｄｌは出来ません。この変形をしようと思うとここで内積に戻す事は出来ないのです。（ｄｖ／ｄｌという量は普通物理の教科書では出てこないものです。）


ｗｉｋｉにある図が誤解を生んでいます。当たり前のようにしてこの図を使いますが隠れている前提があります。
「運動の方向と異なる方向に力が加わっているのに同じ方向の運動が続いている」様に見えます。これは普通は起こらないことです。重力の場合で考えれば「力の方向に徐々に向きが変わっていくはずだ」ということが分かります。ｗｉｋｉの図は束縛運動です。束縛力が必要です。Ｆｓｉｎθを打ち消している力（この場合、重力と床からの抗力）が必要です。この力が働いた結果Ｆｃｏｓθだけが残って床に沿っての運動になります。だから質問の中の式がこの図を前提としているとすると加速度はｍａ＝Ｆ　ではなくてｍａ＝Ｆｃｏｓθです。

Ｗ　＝∫Fcosθdl　＝∫m(acosθ)dl　
ではなくて
Ｗ　＝∫Fcosθdl　＝∫madl　
です。このａに対してａ＝ｄｖ／ｄｔ，ｖ＝ｄｌ／ｄｔを使うことが出来ます。

（ｄｖ／ｄｔ）ｄｌ＝（ｄｖ／ｄｌ）＊（ｄｌ／ｄｔ）ｄｌ＝（ｄｖ／ｄｌ）ｖｄｌ＝ｖｄｖ
となっているところは普通
（ｄｖ／ｄｔ）ｄｌ＝（ｄｖ／ｄｔ）（ｄｌ／ｄｔ）ｄｔ＝（ｄｖ／ｄｔ）ｖｄｔ＝ｖｄｔ
とします。独立変数のとらえ方にも違いがあります。

昨日まではここまでまとまってはいませんでした。どこかおかしいという漠然としたものでした。

No.9 回答者： noname#26663 回答日時： 2007/03/06 01:41

多分これでお。

＾＾
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_ …

No.8 回答者： masuda_takao 回答日時： 2007/03/06 00:52

　うーん、なんか話が噛みあっていないですね...。

　「（dv/dt = acosθ）の考え方」にこだわるなら、そのθが何を意味するのかを追及したほうが良いと思いますが。
　そもそも、その教科書において、dv/dt ＝ acosθとするときのθは、どこの角を意味しているのでしょうか？（角θの定義は何か？と言い換えても同じですが）
　なぜわざわざその記法を採ったのかが、イマイチ謎です。
　出展を確認したいので、どの教科書にある記載なのかを、質問者さんにご紹介いただくと、話が早そうです。

　それが明確でない限り、不毛な言い争いになるだけかと。
　強いて現状の情報のみから「この考え方はあっているのか？」という問に無理に答えるなら、「問の対する答えの探し方以前において、問そのものが意図不明」とお答えするしかないですね。不本意にもぶっきらぼうで恐縮ですが。

　一応、試みに推測します。
　仮に、θが線素ベクトルと加速度ベクトルのなす角であるのなら、dv/dt ＝ acosθという等値扱いには、さしたる意味があるとは思えません（僕の理解が浅くて、その意味を見いだせないだけかも知れません）。
　形式的には、加速度ベクトルの線素の向きへの正射影です。でも、結局のところ、この方針で行く限り、最終的には内積の考え方に帰着してしまいますが...。

　あと、人様にトゲのあることを言われたからって、とげとげしい捨てぜりふを返すのはやめましょうね。
　問題の解決に結びつく推論をなるべく書きたいものです（まぁ、僕も悪質で挑発的な投稿者に怒りをぶちまけたことはあって、そのことに関して運営本部から悪質な嫌がらせを受けたことはあるけどね）。

No.7 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/05 22:01

質問者様もｃｏｓθが内積から来ているということは分かっておられると思います。

質問は教科書の記述を追っかけていったときの疑問なのです。はじめから内積だけでやればこういう問題は出てきません。

＞上の式で（dv/dt = acosθ）こうなることが納得できません、
私は（d(vcosθ) /dt = acosθ）もしくは、（dv/dt = a）にしなくてはならないと思うですが、そしたらどちらの場合も最後までcosθが残ってしまい、・・・
（dv/dt = acosθ）の考え方について教えてください。この考え方はあっているのでしょうか？

この部分について答えて上げて下さい。

「正解は」といって内積を出すだけでは回答になっていません。
「教科書の記述のどこに誤りがあるのか？」、「それは教科書の執筆者がどういう発想をしたことによるのか」です。

No.6 回答者： masuda_takao 回答日時： 2007/03/05 19:33

　揉めていらっしゃるようですが、横やりを一つ。

　運動エネルギーの増加が位置エネルギーの減少と全く等しくなるのは、運動している物体が受ける力が保存力の場合に限られます。
　保存力とは、簡単に言えば、位置のみの関数であるような力のことです（重力も、単振動における復元力も、円運動における中心力もこれを満たす）。
　なお、運動エネルギーの増加が外力のした仕事に等しいという関係は、常に成り立ちます（その外力が、一般には保存力とは限らないということです）。

　なお、問題になっている acosθ・dl に関しては、屋上屋を重ねますが、加速度ベクトルと線素（dl ＝ vdt）の内積と考えれば分かり易いかと。

　No. 4 氏の台詞にはやや太いトゲがあると思いますが、仰りたいことは概ね上記のようなことでしょう。
　個人的には、同氏にはもう少し気を使って欲しいなとは思いますけどね。