そもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか？

Question

そもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか？
いいかえると、真実なのでしょうか?
これは、実は簡単にわかります。証明できません。
なぜなら、非ユークリッド幾何学という反例があるから。

だから、ピタゴラスの定理っていうのは、定理ではなくて、
普通のユークリッド幾何学を展開していく上での、仮定とか前提と考えたほうがいいと思います。
 
ではなぜ、世の中にたくさんある「ピタゴラスの定理の証明」なるものはなんなのでしょうか？
それは、ユークリッド幾何学を特徴づけるピタゴラスの定理よりも、
よりも基本的な公理を仮定していなければなりません。

一般的には、第五公準(平行線は唯一唯一つ)ってのがそうだと思われます。
しかし、その前に、点とか直線とか、距離とか、角度とか、合同とか、たくさんの概念が定義されなくてははなりません。

ところで、数学基礎論では、まず、集合とその間の演算を公理的に定義し、また、自然数と和や積を定義します。
それによって、数論の基本的な結合法則、可換法則、分配法則といったものも、「証明できる」ものになります。
１＋１＝２というのも「証明できる」ものになります。

同じようにしていけば、ピタゴラスの定理って基礎論的に、公理的に、「証明できる」定理なのでしょうか？

実は、「幾何学基礎論」という本を軽く読んだり、いろいろ検索してみたのですが、ピタゴラスの定理は載ってませんでした。

もしかして、ピタゴラスの定理っていうのは、基礎論的にも、公理的にも、「証明されていない」ものなのでしょうか？

ちなみに、sinθ, cosθを、無限級数の和として定義してやって、
それによってユークリッド幾何の回転を定義し、sin^2θ+cos^2θ=1となるので「証明できた」というのは、たぶん、万人は認めないと思います。

koko_u_ · Accepted Answer

>これは本当ですか?
>そのことを今のところ理解できないのですが。
>{ZFC集合論}を基に、{ユークリッド幾何学}は構築されていると思います。
うーん。その発生年代からして明らかだと思うのですが。。。

ZFC集合論が確立されたのは歴史的にはごく最近のことですよね。
それまでの数学者は ZFC 集合論をベースとした論理体系ではなく、当然ユークリッド幾何の論理体系で論を進めていたはずです。

その過程で例えば、ピタゴラスの定理が成立して、直線に「長さ」という計量が常に存在するならば、直角二等辺三角形の斜辺の長さ(√2)のような分数では表わせない「数」の存在を認めざるを得ず論争になったりしたわけです。

近代になって、素朴集合論から発生するパラドクスから逃れるために、公理的集合論が提案されました。発生段階でユークリッド幾何学の「定義」→「公理」→「定理」といった思想的な影響は受けましたが、直接的には無関係です。

公理的集合論が「妥当」であることの証左のひとつとして、それまで「自然言語」で表現されていたユークリッド幾何学を、公理的集合論の言語で表現することが可能(つまりデカルト座標系によってモデル化可能)であることが示されて、これが一般化しました。

公理的集合論は道具立ても揃っているし、デカルト座標は便利であるため、通常はユークリッド幾何学をその一つのモデル(前述の E = (R^2, ...))と同一視しているのです。

>そして、「第五公準(平行線は唯一唯一つ)」というのと、
>「ピタゴラスの定理」というのは同値になりそうというのも了解いただけますか?
>つまり、一方を公理とすれば、他方は定理となる。
ちょっとだけ考えましたが、私の感覚から言うと、同値になりそうもないというのが感想です。
しかし第四公準＋ピタゴラスの定理 を満足して、平行線が複数存在するようなモデルをすぐには思い付きません。
ZFC 集合論は非常に「緩く」できているのでユークリッド幾何学の四公準＋ピタゴラスの定理くらいの前提では、とっぴょうしもないモデルが存在しても不思議ではないなぁ。というくらいで勘弁して欲しい。

koko_u_ · Answer

>どれを採用してもいいのですが、現代数学では全部を採用していると思います。
>つまり、リーマン計量とか曲率とかいうのを考えて、どれも平等に扱っていると思います。
そうではありません。
公理系を下にした論理体系とその「モデル」との区別を明確にすることが今回の質問では重要です。

{ユークリッド幾何学}、{ロバチェフスキー幾何学}、{ZFC集合論}、などなど、論理体系(つまり公理群とそこで許される推論のペア)としては互いに無関係です。
これはユークリッド幾何学で「点」や「直線」が無定義で出現し、ZFC集合論では「集合」が無定義で出現することから明らかです。(どちらかが、どちらかを定義しているわけではありません)

ここにモデルという概念を導入することで、両者を関連づけることができます。
つまり、{ZFC集合論}の集合 R^2 をもって、特定のモデル E = (R^2, 計量やら何やら) を考え、これと {ユークリッド幾何学}の「点」や「直線」の概念とを対応づけることで {ZFC集合論} の中に {ユークリッド幾何学} を構成できるのです。

同様に {ZFC集合論} の別の集合をもってくれば {ロバチェフスキー幾何学} の公理系を満足するモデルが構成できます。

モデル理論の基本的な性質から、{ZFC集合論} において E = (R^2, ...) で {ユークリッド幾何学}的に許された推論のみを用いて演繹された結論は特定のモデル E 以外でも常に成立し、これが即ち「ユークリッド幾何学での定理」となります。

その意味でピタゴラスの定理は「ユークリッド幾何学での定理」となっているはずです。(これまた検証してないけど)

当然、モデル R^2 に依存した極限操作のような推論を用いて得られた結論例えば「有界な無限点列には集積点が存在する」といった命題は 「ZFC集合論での定理」でありながら、「ユークリッド幾何学の定理」ではありません。(またまた、この例も検証してないよん)

現代数学の主流はモデル E に依存した演繹も全てふくめて、ひとまとめに「定理」と呼んでいるため、fjfsgh さんは混乱しているのでしょう。

>ヒルベルトはユークリッド原論をより厳密にしようと、幾何学原論を書いたそうですが、
>現代数学（大学で習う数学）では、「読まなくてもいい存在」のように感じます。
ヒルベルトが幾何学原論を書いた動機は、きっと上記の「ユークリッド幾何学の定理」と「モデル E 上で成立する定理」との違いを明確にする必要性を感じたからではないでしょうか？(勝手な想像です。Hilbert先生スマン)

koko_u_ · Answer

>ピタゴラスの定理が成り立たない空間の例が非ユークリッド幾何学
>という意味で、それを反例といってもいいと思います。
ダメです。用語を正しく使わないと混乱するだけです。

他の回答者の方の述べておられますが、反例という場合には考えている公理系(この場合はユークリッド幾何学)が前提としてあった上で、ピタゴラスの定理が成立しない直角三角形が存在する必要があります。
ZFC公理系には連続体仮説が成り立たない論理モデルが存在しますが、それを連続体仮説の反例とは言いません。

>公理というのが、いくぶんか人間の判断で決められるとしたら、
>現代数学では第五公準を公理としないで、
>ピタゴラスの定理を公理とするほうが圧倒的多数だと思います。
寡聞にしてそのようなユークリッド幾何学の構成方法を目にしたことはありません。

他の所でも言いましたが、公理の選定は議論の進め易さよりも「数学的直感」「自明らしさ」を基準にするべきだと考えます(私見です。一般的かどうかは知りません)
第５公準と比較して、ピタゴラスの定理の方が明らかに自明性で劣ると考えます。

>基礎論的に、公理的に、ピタゴラスの定理を証明するのは、できるであろうが、とっても困難。
>それの証明を僕は見たことがないが、みなさんは見たことがありますか?
他の補足を見るに、基礎論としてZFC集合論のようなものを想定しておられるようですね。
ユークリッド幾何学は ZFC集合論とは別の公理系です。別段 ZFC が唯一無二の公理系というわけでもないし。

一方で、ZFC集合論をもととして自然数 → 有理数 → 実数を構成して、実数のペアから成る集合 R^2 をユークリッド幾何学の公理系を満たすひとつのモデルとすることはできるでしょう。(自分はやったことないけど)

もちろん同様にしてロバチェフスキー幾何学のモデルも集合論の中で構成可能なはずです。

ポイントはユークリッド幾何学のモデルは R^2 だけではないという事実です。実際に、集合論的にはユークリッドの公準を満たすモデルを無数に構成できるはずです。
しかし、ユークリッドの公準から出発してピタゴラスの定理を得られたならば、どのようなモデルを採用しようとも問題はないと言えます。

koko_u_ · Answer

>これは、実は簡単にわかります。証明できません。
>なぜなら、非ユークリッド幾何学という反例があるから。
それは反例とは言いません。

fjfsgh さんはユークリッド幾何学の範囲(あるいは公理系を基礎に)ピタゴラスの定理が成立すると考えているのですか？それともそうではない？

>普通のユークリッド幾何学を展開していく上での、
>仮定とか前提と考えたほうがいいと思います。
ユークリッド幾何学の公理を前提としてピタゴラスの定理が証明できるなら、新たにピタゴラスの定理を前提(あるいは公理)として追加する必要はありませんね。冗長なだけです。

ということは fjfsgh さんはユークリッド幾何学の公理を満たし、かつピタゴラスの定理が成立しないような幾何学的モデル(論理学の意味でのモデルね)が存在すると考えておるのですね。それはどのようなものなのでしょうか？補足して下さい。

>一般的には、第五公準(平行線は唯一唯一つ)ってのがそうだと思われます。
>しかし、その前に、点とか直線とか、距離とか、角度とか、合同とか、たくさんの概念が定義されなくてははなりません。
定理を証明するのに色々準備が必要なのは当然だと思います。
ましてや公理にまで遡って厳密さを追及するならなおさらです。

Sompob · Answer

質問者さんの大きな間違い。それも見逃せない
決定的な間違い。

非ユークリッド幾何学はユークリッド幾何学の
反例と断定している点。

この誤った思い込みから出発しても迷うだけ。

非ユークリッド幾何学はユークリッド幾何学の
拡張ですよ。

ユークリッド幾何学を用いて、非ユークリッド
幾何学のモデルが作れるから（非ユークリッド
幾何学のケーレー＝クラインの表示、或いはポ
アンカレの表示）、この意味する所は、ユーク
リッド幾何学に矛盾無い限り、非ユークリッド
幾何学も矛盾が無い、と謂う事。逆も然り。

あたかも、特殊相対性理論と一般相対性理論の
関係の様に、非ユークリッド幾何学の特別な表
現がユークリッド幾何学。これが成立しないで
何が非ユークリッド幾何学ですか？　ったく。

質問者さんが指摘するまでも無く、ユークリッ
ド幾何学の大前提、公理と公準は、厳密には仮
定と謂うか説明。それを始めるにあたって、正
しいと思われるから受け入れてくれ、と謂ふ所
から始まっているのだから、數學的証明ではあ
りません。が、だから？　

それで矛盾無い体系が出来上がれば居ればよい
だけの話。ほころびがあれば、直せば良いだけ
で、今の所、ユークリッド幾何学は、土台を作
り替える必要はありません。

次。
公理と公準の前に、ユークリッド自身が、点、
直線、平面、などをちゃんと定義して居ります
が、幾何学「原本」お読みに成りましたか？

二番さんの回答が示す図に不満がある様ですが
図と方程式の意味、ご存じですよね。

特定の図と謂って居られるがここも間違い。

ａ、ｂ、ｃに自然数の解があれば、必ず、直角
三角形として表現出来ると謂っているだけの話
と、ボクは理解してますが。

kkkk2222 · Answer

誠に僭越ながら回答させて頂きます。浅学故に誤謬が含まれる可能性が大きく前もって御了承下さい。結論を先に書きますと貴殿と同じ見解で御座います。
ーーー
ユークリッド原論（その一部分）は　
ユークリッド空間の構築のために書かれていると解するならば、
Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２、を以って完成となります。
Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２は合同の定義と同値となっています。故に、Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２の証明は不可能と解することも出来ると思います。証明とは何かとの議論に還元されます。
ーーー
しかしながら、
後世になって非ユークリッド幾何が認知された視点に立つと、
何故、Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２を示せば成らぬのか、
Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２は、定義そのものではないか、となります。
振り返って見れば、
原論は、ユークリッド幾何のみを対象としており、
ユークリッド幾何自身の定義は考慮されていない、
ユークリッド幾何自身の定義は不要と解することとなります。
１＃　ユークリッド幾何のみを対象とした視点。
２＃　３幾何を対象とした視点。
１＃　Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２　は必要。
２＃　Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２　は不要。
個人的には２＃の視点です。
ーーー

N64 · Answer

あなたのご意見だと、ユークリッド幾何学そのものが不備だということになりそうです。それはそれで、正しい見識だと思います。

komimasaH · Answer

１００以上の証明方法があるそうですが、有名なのはピタゴラス自身の証明でしょう。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras3.htm

Willyt · Answer

ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の５つの公理を真とした場合にはその公理を使って証明できていますから、これはユークリッド幾何学下での定理です。非ユークリッド幾何学では成立しないのは当然です。
　ちなみに公理というのは証明不可能です。それを真と認めるて初めてその公理が支配する体系に入り込めるのです。

そもそも、ピタゴラスの定理って定理なのでしょうか？

>これは本当ですか?

この回答への補足

>どれを採用してもいいのですが、現代数学では全部を採用していると思います。

この回答への補足

>ピタゴラスの定理が成り立たない空間の例が非ユークリッド幾何学

この回答への補足

>これは、実は簡単にわかります。

質問者さんの大きな間違い。

誠に僭越ながら回答させて頂きます。

あなたのご意見だと、ユークリッド幾何学そのものが不備だということになりそうです。

１００以上の証明方法があるそうですが、有名なのはピタゴラス自身の証明でしょう。

ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の５つの公理を真とした場合にはその公理を使って証明できていますから、これはユークリッド幾何学下での定理です。

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