No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ーーー
y=x^(1/x)に関してだけなら、なにも此処までの記述は不要に思われます。単に対数微分を実行して、
logy=(1/x)(logx)
y'/y=(1/x^2)ー(logx/x^2)
=(1-logx)/x^2
y'=y(1-logx)/x^2
増減に関与するのは(1-logx)。
尚この関数の性質から、X>0
どうも後半の関数のための準備のようにおもわれます。
ーーー
y=(1+1/x)^x
関数の性質から、X>0
logy=x(log(1+1/x))
y'/y=x(log(1+1/x))
=(log(1+1/x))-x(1/x^2)/(1+1/x)
=(log(1+1/x))-1/(x+I)
ここで此の関数が(≧0)を示す事になります、
F(x)=(log(1+1/x))-1/(x+I)
F'(x)=(-1/(x^2))(1/(1+1/x)+1/(x+I)^2
=-1/x(x+I)^2
となり、
y'/yは単調減少になります。
と言うことは、
x→∞のとき
(log(1+1/x))-1/(x+I)→α≧0
を示す事になります。
両辺に(x+I)を乗じておいてもOKですので、
(x+I)(log(1+1/x))-1 →α’≧0を示します。
x→∞のとき
P=(x+I)(log(1+1/x))-1
=(log(1+1/x))+x(log(1+1/x))-1
=(log(1+1/x))+(log(1+1/x)^x)-1
e の定義を使用すると、
(1+1/x)^x → e
(log(1+1/x)^x)→1
また、(log(1+1/x))→0
結局、P→0 となって、
y'/y≧0
y'≧0
即 yは単調増加となります。
ーーー
かなり、判りにくい記述になりました。
また、貴殿の提示した解法は一切使用しておりません。
ただし、<貴殿の提示した解法>でも同形となることは確認しました。
<貴殿の提示した解法>は巧みではありますが,はなはだ判じ難く回避しました。
補足要求があれば詳説したいと思います。
No.5
- 回答日時:
>「y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるために、logxが増加関数であることからx^(1/x)とlog{x^(1/x)}=(1-logx)/x^2の増減が一致することを用いる。
」#1 です。
当方は誤読してたようなので、少しばかり再吟味の蛇足です。
引用文の趣旨は、
x と Ln(x) の増減は一致するから、x^(1/x) の代わりに Ln{x^(1/x)} の増減を調べればよい。
ということらしいですね。(Ln は自然対数)
[Ln{x^(1/x)}]'=(1-Ln)/x^2
から極大点(x=e)がわかり、Ln{x^(1/x)} の増減を把握できます。
当方の初めのコメントの、
y'=y*{(1/x)*ln(x)}'=y*{1-ln(x)}/x^2
を使って y の増減を調べる場合でも、y=x^(1/x)>0 (x>0) を「暗黙の前提」にしてました。
No.4
- 回答日時:
#2です。
補足質問に回答します。
>これについてもx>0で
>y=f(x)=(1+(1/x))^xとy=g(x)=logf(x)=xlog{1+(1/x)}
>の増減は一致する。
>ということが言えます。
>なぜでしょうか。微分するとまったく同じものにでもなるのでしょうか。
微分は関係ありません。
>確かに両方とも増加関数という点では一致しますが。
0<x<Xに対して
log(x)<log(X)
が成り立ちつからですね。
(増加関数、f'(x)=(log(x))'=1/x>0)。
f(x)とg(x)=log(f(x))について
0<x0<X0に対して
f(x0)<f(X0)であればg(x0)<g(X0)が成り立ち
f(x0)>f(X0)であればg(x0)>g(X0)が成り立ちます。
つまり、あるxの付近でf(x)が増加すれば、g(x)も増加し
別のxの付近でf(x)が減少すれば、g(x)も減少するということです。
つまり、f'(x)とg'(x)の符号は一致する。しかしf'(x)とg'(x)は同じ関数ではない。
ということです。
No.2
- 回答日時:
>y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるために、
>logxが増加関数であることから
>x^(1/x)とlog{x^(1/x)}…の増減が一致する
x>0の範囲で合っていますが
>log{x^(1/x)}=(1-logx)/x^2
この式は等しくないですね。
{log{x^(1/x)}'=(1-logx)/x^2}です。
「log{x^(1/x)}の増減は{log{x^(1/x)}'=(1-logx)/x^2}を使って調べる」が正しい表現ですね。
◎前半を正しい文章にまとめると以下のようになります。
y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるためには、x>0の範囲でlogxが増加関数である性質を使えば、
f(x)=x^(1/x)…Aとg(x)=logf(x)=log{x^(1/x)}…B
の増減は一致する。
その増減はg(x)を微分して出てくる導関数g'(x)=(1-logx)/x^2…Cの使って増減表を書いて調べることができる。
つまり
0<x<e(ネイピア数)で
g'(x)>0でg(x)は増加、従ってf(x)も増加
x=eで
g'(e)=0で極大値(実は最大値)をとる。
x>eで
g'(x)<0でg(x)は減少、従ってf(x)も減少
ということが分かる。
>y=(1+1/x)^xの増減はlogyの増減に等しく・・・・
これについてもx>0で
y=f(x)=(1+(1/x))^xとy=g(x)=logf(x)=xlog{1+(1/x)}
の増減は一致する。
ということが言えます。
この回答への補足
ありがとうございました。
これについてもx>0で
y=f(x)=(1+(1/x))^xとy=g(x)=logf(x)=xlog{1+(1/x)}
の増減は一致する。
ということが言えます。
なぜでしょうか。微分するとまったく同じものにでもなるのでしょうか。確かに両方とも増加関数という点では一致しますが。
No.1
- 回答日時:
>y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるために、logxが増加関数であることからx^(1/x)とlog{x^(1/x)}=(1-logx)/x^2の増減が一致することを用いる。
(実関数だとして x>0 で考える)
y=x^(1/x)=exp{(1/x)*ln(x)}
ですから、
y'=y*{(1/x)*ln(x)}'=y*{1-ln(x)}/x^2
を使って y の増減を調べる、ということではないでしょうか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 経済学 ある経済の消費関数がC=a+c(Y−T)C=a+c(Y−T)の形で与えられている. ただし, a,c 1 2023/01/11 20:42
- 数学 数学積分の問題です x=a(t+sint) y=a(1-cost) tは0〜π グラフの形は「ハ」を 3 2022/08/27 12:26
- 数学 増減表を使って三次関数を解くときに、解説にy'>0となるからyは増加する とあるのですがイメージがで 4 2022/04/05 20:56
- 弁護士・行政書士・司法書士・社会保険労務士 募集株式の発行 取締役会議事録について 募集事項 増加する資本金及び資本準備金に関する事項について 1 2022/06/06 01:25
- 弁護士・行政書士・司法書士・社会保険労務士 40年前に増築した床面積追加と相続登記について 1 2022/04/08 13:36
- 政治 世界では核戦争が心配されているのに、自民党は自分の選挙区のことで頭の中が一杯ですか? 8 2022/10/12 11:31
- その他(ニュース・社会制度・災害) 人口が増えるって害しかなくないですか? 世界なんかも人間が増えまくって困ってますよね 特に貧困国ほど 0 2022/05/01 20:15
- 政治 安倍・菅・岸田自公政権の悪政・悪行・犯罪・テロ・噓八百・隠蔽・捏造・改ざん・悪い方向に 4 2022/05/29 19:36
- Excel(エクセル) VBA SUM関数を入力したい 6 2022/08/20 20:10
- 政治 安倍自公政権のアベノミクスとやらで、日本が経済成長し、景気・内需も良くなった? 2 2022/05/04 10:30
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
y=x^x^xを微分すると何になりま...
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
自然対数をとる?とは・・・
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
e^x=2のときのxの求め方
-
y=x^2logxのグラフの増減ってど...
-
関数電卓のlogについて
-
256は2の何乗かを求める式
-
(a^x)’=a^xloga の証明
-
超初歩的質問ですが・・
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
lnをlogに変換するには・・
-
log2の5は?
-
教えてください、分かりません
-
関数電卓の使い方
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
なぜxがe^logxと変形できるので...
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
x^i(xのi乗)の微分はどうやる...
-
log10って???
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
e^x=2のときのxの求め方
-
自然対数をとる?とは・・・
-
256は2の何乗かを求める式
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
log2の5は?
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
関数電卓の使い方
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
lnをlogに変換するには・・
-
eの指数の計算がわかりません。
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
関数電卓のlogについて
-
ln5はいくつ?
-
微分方程式dy/dx=1-y^2を解け。...
-
数学の関数についての質問です...
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
超初歩的質問ですが・・
-
log3^1はなんで0になるんですか?
おすすめ情報