今、いろいろな微分の公式を覚えているのですが、なかなか覚えられません。そこで自分で証明しながら覚えているのですが、一つどうしたら証明ができるのかわかりません。それは
(a^x)’=a^xloga
です。
どうしてaのx乗の微分」がこうなるのでしょうか?答えをkとおいて、両辺を積分して、k=の形に直して・・・としてみたのですが、どうもうまくいきません。合成関数を使うのかしら?と思いながらよくわかっていないので、できませんでした。
どなたかこの式の証明方法を教えていただけませんか?どうぞよろしくお願いいたします。
No.4
- 回答日時:
以下、底が a の対数を logx , 底が e の自然対数をln と書きます。
まず y=a^x とおきます。
y=a^x ⇔ log y =x
今、左辺は log y = (ln y)/(log a) (底の変換)なので
(ln y)/(log a)=x ⇔ ln y = x(log a) よって y=e^(x(log a))
この両辺を x で微分して y'=(log a) e^(x(log a))=(log a) y
y=a^x なので (a^x)' = (log a) a^x
ついでに、(e^x)'=(ln e) e^x = e^x (∵ln e =1) と覚えておけば、(a^x)'も覚えやすいのではないでしょうか?
shibainumodokiさま、ご回答ありがとうございました。とてもややこしいにもかかわらずご丁寧に説明していただいありがとうございました。おかげさまで理解することができました。ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
(e^x)'=e^x と、合成関数の微分法はご存知でしょうか?
それらを知っていれば話は簡単です。
まず、a=e^loga です。これは当たり前ですね。
よって、a^x=(e^loga)^x
=e^(xloga) となります。
これを合成関数の微分法を用いて微分すると、
{e^(xloga)}'=e^(xloga)*loga
=a^xloga
となります。
itaba_bananaさま、早速御回答いただきありがとうございました。教えていただいたとおりにやってみるとできました!ただ
>まず、a=e^loga です。これは当たり前ですね。
これはこうなるのはわかるのですが、微分するためにはこの形にしないと、というのが思い浮かびませんでした。さらなる練習問題の取り組みに励みたいと思います。ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
e^xを微分するとe^x
ですよね
この時のxがなんらかの式Xだとすると
X'e^X
ですよね。
それを踏まえて
a^xをe^?
の形に変形すると
e^(xloga)
になりますから
(xloga)'e^(xloga)
(loga)a^x
となるかと思います
BLUEPIXYさま、早速ご回答をいただいてありがとうございました。おっしゃるとおりにやってみたらできました!
ただ
>a^xをe^?
>の形に変形すると
とありましたが、私はまずその発想ができませんでした。やはり変形には目的がありますが、私にはそれがいまいちよみきれていないと思います。やはり練習問題を重ねるしかないのですね。ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 中2数学の「平行四辺形の2組の対角はそれぞれ等しい」ことの証明を自分なりに考えてみたのですが、これで 3 2023/06/21 18:25
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 高校 方程式の証明 5 2022/05/12 09:29
- 数学 『弧は弦より長し』 8 2022/04/18 10:23
- 数学 線形代数 正則 階数 3 2023/03/22 07:52
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 数学 【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について 4 2022/07/07 21:44
- 物理学 微分方程式の物理現象への適用について 3 2023/05/14 12:22
- その他(行政) e-govで必要な電子証明書について 1 2022/08/20 22:56
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
無次元量ではない量が対数や指...
-
y=x^x^xを微分すると何になりま...
-
e^x=2のときのxの求め方
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
自然対数をとる?とは・・・
-
lnをlogに変換するには・・
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
log3^1はなんで0になるんですか?
-
log2の5は?
-
log(1-x^2) のn階導関数
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
関数電卓の使い方
-
y=x^(1/x) の 微分
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
e^xを微分するとe^xになる理由
-
なぜxがe^logxと変形できるので...
-
y=x^2logxのグラフの増減ってど...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
e^x=2のときのxの求め方
-
自然対数をとる?とは・・・
-
256は2の何乗かを求める式
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
log2の5は?
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
関数電卓の使い方
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
lnをlogに変換するには・・
-
eの指数の計算がわかりません。
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
関数電卓のlogについて
-
ln5はいくつ?
-
微分方程式dy/dx=1-y^2を解け。...
-
数学の関数についての質問です...
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
超初歩的質問ですが・・
-
log3^1はなんで0になるんですか?
おすすめ情報