No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1) F(s) = 2 / s(s^2 + 2s + 2)
でしたら,
(2) F(s) = a/s + (bs + c)/(s^2 + 2s + 2)
として,通分整理すれば
(3) F(s) = {(a+b)s^2 + (2a+c)s + 2a}/s(s^2 + 2s + 2)
ですから,(1)(3)の s の各次の係数を比べて
(4) a + b = 0
(5) 2a + c = 0
(6) 2a = 2
となります.
(4)(5)(6)の連立方程式を解いて
(7) a = 1, b =-1, c = -2
すなわち,
(8) F(s) = 1/s - (s+2)/(s^2 + 2s + 2)
です.
もう一つは,
(9) G(s) = 1/s^2(s +1)
を
(10) G(s) = a/s + b/s^2 + c/(s+1)
として,通分整理すれば
(11) G(s) = {(a+c)s^2 + (a+b)s + b} / s^2(s +1)
ですから
(12) a + c = 0, a + b = 0, b = 1
で,
(13) a = -1, b = 1, c = 1
になります.
つまり
(14) G(s) = -1/s + 1/s^2 + 1/(s+1)
です.
要するに,分母が
(15) (x+α) (x+β)^2 (x^2+γx+δ)
の形だったら,
(16) a/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+β)^2 + (dx+e)/(x^2+γx+δ)
とすればよいわけです.
通分すると x^5 までの項が分子に出ますから,連立方程式は5本.
未知数が a~e の5つで,ちゃんと解けます.
もっと因数があっても同様の方針です.
この回答への補足
誠に親切な回答ありがとうございます.
最初は「なんで 1/s^2(s +1) が a/s^2 + b/(s+1) でなく
a/s + b/s^2 + c/(s+1) のか」と悩んでいましたが,下の
方を読んでいき,納得することができました.
しかし,
(2)の (s^2 + 2s + 2)
については,虚数を用いて因数分解することができまるよね.
(s+1+i) (s+1-i)
このように因数分解すると,さらに違った答えになるんで
はないでしょうか.
申し訳ないですが教えて頂けないでしょうか...
No.6
- 回答日時:
☆補足回答☆
(s+1+i)(s+1-i)とした場合は定数hの共役複素数をh*とすると、
F(s) =a/ s+h/(s+1+i)+h*/(s+1-i)
と置けます。この置き方がテクニックです!!このようにすると美しく計算できます。
すると、
a=lim(s→0)sF(s)=lim(s→0)2/(s^2+2s+2)=1
h=lim(s→-1-i)(s+1+i)F(s)
=lim(s→-1-i)2/s(s+1-i)=2/(-1-i)(-2i)
=-i/(1+i)=-i(1-i)/2=-1/2-i/2
したがって、
F(s)=1/ s+h/(s+1+i)+h*/(s+1-i)
=1/s+{(h+h*)(s+1)-i(h-h*)}/{(s+1)^2+1}
=1/s+(h+h*)(s+1)/{(s+1)^2+1}
-i(h-h*)/{(s+1)^2+1}
=1/s-1×(s+1)/{(s+1)^2+1}
-i(-i)/{(s+1)^2+1}
=1/s-1×(s+1)/{(s+1)^2+1}
-1/{(s+1)^2+1}
∴L^(-1){F(s)}=1-e^(-t)L^(-1){s/(s^2+1^2)}
-e^(-t)L^(-1){1/(s^2+1^2)}
=1-e^(-t)cost-e^(-t)sint
No.4
- 回答日時:
>の部分も虚数を用いて因数分解することができまるよね.
実数・虚数以外でも数学では面白い「数」が定義されていて,
4乗すると1になる数(1以外で)を定義して,a+bi+cj,と言うものも
あります.こうすると,a+bj,までの因数分解に留まらず,a+bi+cj,と
言うところまでも因数分解をすることも出来ます.
同様にして,8乗して1になる数・・・なんて定義して行けば,因数分解は
無限に続いてしまいます.
従って,どの数の定義範囲まで因数分解するか?,と言うことが重要に
なります.もし「実数の範囲で」ならば,上の方のご回答ですが,
「虚数も含めた範囲で」ならば,stargroundさまのご指摘の通りの
ところまで因数分解まで行う必要があります.
高校数学の範囲では,特に「虚数または複素数」と書いていなければ,
実数範囲での因数分解として良いかと思います.
実用では,例えば電気回路等の設計で複素数を取り扱うことがあります.
このとき,複素数までの因数分解を行うこともありますが,そうすると
余計設計がややこしくなる場合もあって,そういうときは実数範囲での
因数分解でヨシとしています.つまり因数分解とは,設計や数の性質を
分かりやすくするために行うものなのです.
試験,がんばってくださいね.
No.3
- 回答日時:
>(s^2 + 2s + 2)
>については,虚数を用いて因数分解することができまるよね.
>(s+1+i) (s+1-i)
>このように因数分解すると,さらに違った答えになるんで
>はないでしょうか.
>申し訳ないですが教えて頂けないでしょうか
これに回答いたしますと
このようには因数分解しません。
理由といたしまして
これは微分方程式をラプラス変換で書きなおして
ラプラス変換→逆ラプラス変換で解く過程での作業だと思うのですが
逆ラプラス変換表を見ればわかると思いますが
(そこまで複雑な式にする必要はありません)
わざわざ解けない方法に式を誘導する必要はないと思いますし
この場合ですと、
F(s) = a/s + (bs + c)/(s+1+i) (s+1-i)
で
例えa,b,cが求まったとしても
逆ラプラス変換できません。
それは、逆ラプラス変換表を見てください。一目瞭然です。・・
No.1
- 回答日時:
例えば、
2 / s(s^2 + 2s + 2) =1/s - (s+2)/(s^2+2s+2)
となります。
部分分数分解のやり方ですが、まず分解したい分数の分母を因数分解します。これができないとできないと考えてよいでしょう。
例として
1/F(x)G(x)
のように分解できたとしたら、展開する候補としては
f(x)/F(x) + g(x)/G(x)
のような形になります。ここでfとgはそれぞれFとGより次数が低い整式です。
このような形にできたら、あとは
1/F(x)G(x) = f(x)/F(x) + g(x)/G(x)
の恒等式から係数比較してfとgを求めれば完成です。
この回答への補足
誠に親切な回答ありがとうございます.
しかし,
1/s - (s+2)/(s^2+2s+2)
この式の
(s^2+2s+2)
の部分も虚数を用いて因数分解することができまるよね.
(s+1+i) (s+1-i)
このように因数分解すると,さらに違った答えになるんで
はないでしょうか.
申し訳ないですが教えて頂けないでしょうか...
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 中3多項式置き換えによる展開と、因数分解について ①(x+y-2)^2 ②(x-y+5)(x-y-5 2 2022/04/21 00:00
- 数学 乗法公式の問題についてです。 (x-y)(2x+y)??? 2 2022/10/18 19:50
- 数学 マクローリン展開のn次の係数を求める問題です。 考えてみたのですが、分からず困っています。 x/(1 5 2022/07/31 20:51
- 計算機科学 この問題の(2)を教えてください。 式を展開して2x+2分のy=4と5x+2分のy=7になる前までは 3 2022/04/22 22:25
- 数学 中1 数学 発展問題 教えてください 4 2022/09/22 00:10
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
- 数学 連分数展開の問題について 5 2022/11/16 15:50
- 数学 高1の数学 因数分解について教えてください。 次の問題を計算した時に、 私は(y-3x+2)(y-2 6 2022/05/29 19:11
- 数学 数Ⅲ、無限等比数列の問題についてです。 極限を調べる問題で、 場合分けのうちの |r|>1 の時、 3 2022/11/12 10:19
- 数学 「f(z)=1/(z^2-1)に関して ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー 3 2022/08/27 19:56
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2X²-X-3 この式を因数分解し...
-
289x^2-1632x+2304を因数分解し...
-
数学で √15×√35×√42=105√2なん...
-
小数を分数に変えるやり方!
-
相加・相乗平均の問題なのです...
-
素因数分解で最大公約数、最小...
-
x二乗マイナス5xプラス3の因数...
-
小三算数です。 0➗4=0 4➗0=0...
-
小学5年の算数です。 姪の宿題...
-
幸せを数えていれば幸せになれ...
-
伸び率のマイナス数値からのパ...
-
かけ算、割り算の移項
-
不等式について
-
3分の2時間を 分に直すにはどー...
-
放置子(・・?
-
40人は、▄人の50% を教えて欲し...
-
分数の掛け算・割り算について...
-
X2乗-1を公式を利用する因数...
-
線の7等分する方法を教えてくだ...
-
中3数学についてです! (X3乗)...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
2X²-X-3 この式を因数分解し...
-
4,4,4,4 をできれば四則演算で...
-
x二乗マイナス5xプラス3の因数...
-
素因数分解で最大公約数、最小...
-
小数を分数に変えるやり方!
-
因数分解
-
数学で √15×√35×√42=105√2なん...
-
289x^2-1632x+2304を因数分解し...
-
この問題の解き方を教えてくだ...
-
中学数学 √
-
二重根号:√2√2
-
相加・相乗平均の問題なのです...
-
平方根についてですが問題の答...
-
ルートと分数の表記の仕方がわ...
-
数学で1/4{√4/9a2乘+8/3(3-a)...
-
平方根の分野で1080の約数のな...
-
中学3年数学の問題です! 整数...
-
173番の問題がわかりません。何...
-
正弦定理、余弦定理の問題
-
ルートの中にルート
おすすめ情報