No.3ベストアンサー
- 回答日時:
Rを質問に書いてある通りとし,IをRの(0)でない
イデアルとして,Iが単項イデアルとなることを示します.
((0)が単項イデアルなのは明らか)
Iに入っている正の整数(普通のいみでの整数です)で最小のものを
aとします.このときaR⊆Iです.
一方,Iの任意の0でない元b/cをとります.
(b,cは互いに素な整数でb>0とします.)
するとまず,b=c(b/c)はIに入る正の整数です.
b=aq+r (qは0以上の整数,rは0以上a未満の整数)と
割り算して考えるとrがIに入ることからr=0,よってb=aqとなります.
次にb,cは互いに素なのでbx+cy=1となる整数x,yが存在します.
このとき(b/c)x+y=1/cで左辺はRの元なので右辺もそうです.
従ってb/c = (1/c)b = (1/c)qa ∈ Raとなります.
また0∈Raは明らかなので
I⊆Ra. よってI=Raとなり,Iが単項であることが言えます.
No.1
- 回答日時:
R の中に絶対値最小の元 a ∈ R があるとしよう。
a = 0 なら話はおわりだ。a の代りに -a ∈ R を考えることで、0 < a とする。
a < 1 と仮定すると、a^2 ∈ R かつ a^2 < a となり a の最小性に反する。
よって a >= 1。
a は有理数なので、a = n + b, n ∈ Z (整数) 0 < b < 1 と表わせる。Z ⊆ R だから、b = a - n ∈ R となりやはり矛盾だ。
結局 R に最小な元は存在しない。
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