コンパクトについての証明

[0,1)がコンパクトでないことを示せ。

という宿題を出されたのですが、わかりません。どなたかわかる方アドバイスお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/06/07 20:00

証明方法はいろいろあるんではないですか。

世間では数学の答えは一つだと信じられていますが、事実は違います。大学の数学の面白いところは、答えは一つではないということです。ですから、模範解答を見ても数学の力はつきません。自分の頭を信じて、自分で考えることが大切なのです。この問題についてですと、例えば、具体的な開被覆を一つ考えてみて下さい。私だったら、On=(-1,Sn)という開区間を考えます。但しSnは単調増加で0<=Sn<=1を満たし、１に収束するものであれば何でもかまいません。このとき、∪Onは[0,1)の開被覆ですが、この開区間から有限個を取り出して、[0,1)を被覆することはできません。なぜでしょう？考えて下さい。

この回答へのお礼

有限個取り出したら必ずSnと１との間に被覆できない値を取れるからですね。なんとかできそうです。ありがとうございます。

お礼日時：2007/06/08 14:11

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/06/07 22:29

とにかく問題になりそうなのは、右端の1のところなんで、そこをうまいこと突くような開被覆をもってくればいいわけです。

具体的には＃１の方の通り、左から１に近づくように広がっていく開集合の（無限個の）族を考えることになります。
これが被覆になっていることを証明するには、ε-δを使います。
このとき有限個の開集合が被覆になってないことは（上のε-δの証明の過程より）ほぼ明らかでしょう。

この回答へのお礼

No.1と同様参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/08 14:12