グラムシュミットの直交化

３次元空間の中にa1,a2,a3の基底が与えられている時、これは長さは１とは限らないし、直交してるとも限りません。これらをもとにして長さが１の直交する基底a1',a2',a3'を作ります。

a1'=a1/|a1|　←a1の長さを１にしてる

次にb2を、a2とa2のa1'方向への正射影したベクトル(a2・a1')a1との差として作れば、a1'と直交します。b2を長さ１に調節したベクトルをa2'とすればよいのです。

b2=a2-(a2・a1')a1'
a2'=b2/|b2|


と参考書には書いてあるんですが、
「b2を、a2とa2のa1'方向への正射影したベクトル(a2・a1')a1との差として作れば、…

というところが分かりません。
そもそも正射影って何ですか？
なぜ(a2・a1')a1になるんでしょうか？

ここが分からない為に、QR分解という数値計算の問題が先へ進まない状態となっています。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/08 17:08

>３次元空間の中にa1,a2,a3の基底が与えられている時、これは長さは１とは限らないし、直交してるとも限りません。

これらをもとにして長さが１の直交する基底a1',a2',a3'を作ります。
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>a1'=a1/|a1|　←a1の長さを１にしてる
これはOKなのですね。

次へ行く前に「正射影」を片付けましょう。
>そもそも正射影って何ですか？
たとえば a2 の a1' への正射影というのは、a2 の a1' に沿った向きの成分b1 を指します。同じ向きの(原点を通る)直線を A1 とします。
　　(1) 向きは a1' と同じ向き。
　　(2) 大きさは、a2 から直線A1 へ垂線を下ろしたポイントb1 の長さ。
このとき、|b1| = (a2・a1') と表せます。(内積の定義をもう一度見てください)
つまり、b1 = |b1|*a1' = (a2・a1')*a1' になります。

次いで、a2 のa1' に対する直交成分を考えます。
>次にb2を、a2とa2のa1'方向への正射影したベクトル(a2・a1')a1との差として作れば、a1'と直交します。
つまり b2 = a2-b1 ですが、a1, a2, は基底(一次独立)なので、b2 は零になり得ません。
そして b2 は a1' と直交してます。(内積の定義をもう一度見てください)
実際、(b2・a1') = ((a2-b1)・a1') = (a2・a1') - (b1・a1') = |b1|-|b1| = 0 となって、直線A1 の向きの成分はゼロ。

>b2を長さ１に調節したベクトルをa2'とすればよいのです。
>a2'=b2/|b2|
これはOKでしたね。

ちょいとハショリ気味ですが、ご解読ください。