No.3ベストアンサー
- 回答日時:
線形空間ではまず、加法とスカラー倍が定義されています。
つまり、a,bをベクトル、kをスカラーとすると、
a+b、kaがその線形空間のベクトルでなければならない。
k=-1としたのが、先の回答の一例。
さらに、線形空間は加法に関して群をなしているので、0ベクトルと、
ベクトルaに対する逆元である-aが、その線形空間に入っていなくては
ならない。ベクトルaに対して、その逆元は-aなので、これで
考えても同じ。
No.4
- 回答日時:
W={(X1 X2 X3)|X2=X1+1}では、そもそもゼロベクトル(0,0,0)が含まれ
ていないのでだめですね。
イメージとしては、線形空間とは原点を中心として対称な空間のように
考えておくと良いと思います。
つまり、線形空間とは原点を中心として、その空間内で、どの方向にも
まっすぐに延びることができるということです。
No.2
- 回答日時:
詳しい設定が無いので断言はできませんが、x1,x2,x3は実数であって、この場合はベクトルとみなしません。
(x1,x2,x3)でひとつのベクトル(Wの元)とみます。
Wは3次元の数空間の部分集合として解釈します。またその和、スカラー倍も高校でやったような自然な和、スカラー倍を用いてよいでしょう。
このときこのWは線形空間になりません。
定義から線形空間は零ベクトルを含まないといけません。
(線形空間の元の0倍もその線形空間に属するからです。)
この場合(0,0,0)はWの元ではないので、線形空間にならないのです。
Wの条件を少し変えて
W={(x1,X2,x3)|X1≧X2≧X3}
にしたとしても線形空間になりません。
この場合(0,0,0)はWに含まれますが、Wの元をひとつとったときにその-1倍がWに属さないからです。
例えば(3,2,1)∈Wですが、
その-1倍の(-3,-2,-1)はWに属しません。
線形空間の定義をしっかり確認すれば、すぐわかるようになると思います。
No.1
- 回答日時:
X1,X2,X3はベクトルではなくて(X1,X2,X3)を3次元のベクトルと考えて
いるのでしょうね。ベクトル自体には大小関係はありませんからね。
実3次元の線形空間で考えることにして、(X1,X2,X3)がX1>X2>X3
を満たしていても、-(X1,X2,X3)=(-X1,-X2,-X3)は-X1<-X2<-X3になっ
て、これはWに入らないので、Wは線形空間ではないですね。
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