No.1ベストアンサー
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●よく弾むボールのようなものの場合。
質量、高さ、初速の他に、最大どれだけ縮んだか、という値が必要です。
初速0で高さH[m]から物体を落下させ、床にぶつかって床と物体が合わせて最大d [m]へこんだとします。物体が床にぶつかってから離れるまで、床から受けた加速度が一定aであると仮定すると、
a = (H/d)g
(g~9.8[m/s^2]は重力加速度)
です。従って、床が受けた力は、物体の質量をm[kg]として
F = ma = m (H/d)g [N]
です。またこの力が掛かっていた時間tは
t= (2√2)d/ √H [s]
ということになる。たとえば、1mの高さから鉛筆を落として、床のリノリウムに1mm刺さって跳ね返ったとすれば、鉛筆が受けた加速度は実に1000G。
高さhから初速v0 (下向きを正とする)で落とした場合は、
H = h+(v0^2)/(2g)
として計算すれば良いです。ぶつかる瞬間の速度はv1=√(2gH) = √(2gh+v0^2) [m/s]。
●あんまり弾まないものの場合。
さらに反発係数Rが必要です。すなわちR=-(跳ね返った速度v2)/(ぶつかる直前の速度v1)が1よりだいぶ小さい場合には、ぶつかっているときに音や熱や振動としてエネルギーが失われている。しかし運動量は保存するので、力積は
F t = m (v1 - v2) = m v1 (1+k) = m (1+R) v1√(2gh+v0^2)
となる。こうなると、加速度aが一定と考えるのは無理。
反発力が変位に比例するとしてバネ定数kのばね、エネルギーのロスを速度に比例するものとしてダンパーcで近似して、衝突後s秒におけるへこみをy(s)とするとき、衝突中の運動方程式は
m y'' +cy' +ky = cv1
となる。(y(0)=0, y'(0)=v1,y''(0)=0。「'」は時間sに関する微分です。)
これを解くと、条件1>c^2/(4km)では減衰振動する。ばぁあぁ~んという感じ。このときは
Q = (√k/√m)√{1-c^2/(4km)} として
y(s) = (cv1/Q/m) exp[-cs/(2m)] (sin Qs)
また条件1<c^2/(4km)では振動しないで、ぐべちゃ、となる。このときは
P = -iQ = (√k/√m)√{c^2/(4km)-1} として
y(s) = (cv1/P/m) exp[-cs/(2m)] (sinh Ps)
(ここにsinh x = (exp(x)-exp(-x))/2, cosh x = (exp(x)+exp(-x))/2です。)
なんだか凄いことになってきちゃった。
力F(s)は振動する場合
F(s) = m y'' = cv1{{c^2-(2Qm)^2}(sin Qs)-4Qcm(cos Qs)}exp[-cs/(2m)]/(4Q m^2)
振動しない場合
F(s) = m y'' = cv1{{c^2+(2Pm)^2}(sinh Ps)-4Pcm (cosh Ps)}exp[-cs/(2m)]/(4P m^2)
ということになります。
で、エーと、最大の縮みdおよび反発係数Rとc, kの関係がどうなるかというと....えーと。つづく。
(つづかないかも。)
ありがとうございました。
落下物が弾む場合と余り弾まないものとの両式を記載いただき、昔習ったようなものがおぼろげに、思い出しました。
ただ、反発係数における関係が、不明なので(実際の検討しようとする反発係数が不明)一寸行きづまった形となりましたが、衝撃力としては算出できました。
詳細なる計算式、どうもありがとうござました。
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