矩形波duty比を変えた場合のフーリエ展開

矩形波のduty比50％の場合のフーリエ展開はわかるのですが、
矩形波のduty比75％とか90％とかの場合はどのようにやるのでしょうか？

No.5 回答者： info22 回答日時： 2008/06/01 19:43

#3です。

お気づきと思いますが、A#3でケアレスミスがありますので
訂正させて下さい。
> 0<d<1(d:duty)
> f(t)＝1, |t|≦dπ
> f(t)＝0, dπ＜d≦π
f(t)＝0, dπ＜|t|≦π

なお、f(t)は周期 T=2πですから
f(t±2nπ)=f(t) (n=1,2,...)
です。

No.4 回答者： foobar 回答日時： 2007/11/23 09:37

デューティ比に関して補足

D=1-D'と置くと
sin(nπD)=sin(nπ-nπD')=-cos(nπ)sin(nπD')
|cos(nπ)|=1なので、|sin(nπD)|=|sin(nπD')|になります。

ということで、デューティー比0.9と0.1の波形で、高調波の割合は同じになります。（デューティー比0.9の矩形波を上下反転すると0.1の矩形波（位相も反転していますが）になりますね）
D=0.5を境にして、そこから大きくなっても、小さくなっても高調波がなだらかに減衰するようになります。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2007/11/22 15:58

フーリエ級数展開については次のURLをご覧下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …

矩形波f(t)の1周期を[-π,π]、duty=d (0＜d＜1)とし、f(t)を
f(t)＝1, |t|≦dπ
f(t)＝0, ｄπ＜d≦π
で与えるとすると、f(t)は偶関数となるから
上記URLのフーリエ係数a0,an,bnは
bn=0 (n=1,2,3,...)
a0=(1/π)∫[-dπ,dπ] 1 dt=2dπ/π=2d
an=(1/π)∫[-dπ,dπ] 1*cos(nt)=2sin(nπd)/(nπ) (n=1,2,3,...)

∴f(t)=d+Σ[n=1,∞] {2/(nπ)}sin(nπd)cos(nt)
=d+(2/π)[sin(πd)cos(t)+(1/2)sin(2πd)cos(2t)
+(1/3)sin(3πd)cos(3t)+(1/4)sin(4πd)cos(4t)+ …
+(1/n)sin(nπd)cos(nt)+ …]
と展開できます。

直流分のdは　dutyに等しいですから　dutyに比例する
ということです。
フ－リェスペクトルF(f)のグラフの包絡線は sin(nπd)/nですから
dが小さくなるほど包絡線はなだらかな変化になります。

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2007/11/21 16:57

duty比をD(0<D<1)、(計算を簡単にするために)レベルが0と1の矩形波とすると、

n次の係数
Bn=1/π∫cos(nx)dx (積分区間 -DπからDπ)
=2/(nπ)*sin(nDπ)
になって
f(x)=2/πΣsin(nDπ)/n*cos(nx)
で表されるかと思います。

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2007/11/20 21:02

50%のときと同様に計算すればよいように思います。

(t=0を中心に、左右対称になるように波形を配置すれば、cos展開だけですむので計算が楽になるかと思います。）

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。質問に間違いがありましたので、訂正させてください。矩形波のduty比50％の場合のフーリエ展開はわかると記載しましたが、よくよく考えたらわかっていませんでした。当方としてはduty比90％と75％の矩形波にはどのような成分の波がグラフ化図式化してみたいのですが、何かアドバイスがあればお願いします

補足日時：2007/11/21 10:06