No.3ベストアンサー
- 回答日時:
すみません。
訂正します。r^(a/b) が有理数となる場合は、
rの分子、分母をそれぞれ、素因数分解したとき、素因数分解の一意性より、個々の素因数の指数は、bの倍数でなければなりません。すると、rの指数の分母bは簡約されますね。したがって、r^(1/b)は有理数になります。
No.4
- 回答日時:
aとbが互いに素であることより
am + bn = 1
を満たす整数m,nが存在しますから,
(a/b)m + n = 1/b
したがって,r^(a/b) が有理数ならば,
r^(1/b) = {r^(a/b)} ^m * r^n
も整数となります。
表向きは出てきませんが,r^(a/b)が定義できるという
ことから,rは「正の」有理数ですよね。
途中に用いた定理の証明は dfhsds さんにお任せします。
rを(正の)有理数と仮定するより,むしろ
r = 2^(3/4),a = 4,b = 3
のときのように,r^(a/b) が有理数でも r^(1/b) が有理数
とは限らないということの方に興味が惹かれました。
No.2
- 回答日時:
あっ、そうか、論理の問題ですよね。
b=1のとき、命題は明らかに「真」ですよね。
b>1のときは、r^(a/b) は有理数となりませんから、
「r^(a/b) が有理数ならばr^(1/b) が有理数」
は「真」です。
仮定が「偽」なら、結論は何であっても、命題は「真」となるのです。
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