tanhの加法公式

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質問者：ktaijima
質問日時：2008/01/14 22:16
回答数：2件

tanh(x+y)の加法公式をsinとcosの加法定理を用いずに、eを用いて証明したいんですがどうすればいいでしょうか？

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回答 (2件)

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No.2

回答者： yhposolihp
回答日時：2008/01/15 02:18

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sinh(A+B)=sinhAcoshB+coshAsinhB
cosh(A+B)=coshAcoshB+sinhAsinhB
tanh(A+B)
=[sinh(A+B)]/[cosh(A+B)]
=[sinhAcoshB+coshAsinhB]/[coshAcoshB+sinhAsinhB]
=[(sinhA/coshA)+(sinhB/coshB)]/[1+(sinhA/coshA)(sinhB/coshB)]
=[tanhA+tanhB]/[1+tanhAtanhB]

-----------
○

tanh(A+B)

　　　　(e^(A+B))-(e^-(A+B))
=　　　―――――――――
　　　　(e^(A+B))+(e^-(A+B))

[tanhA+tanhB]/[1+tanhAtanhB]

　[{((e^A)-(e^-A))/((e^A))+(e^-A))}+{((e^B)-(e^-B))/((e^B))+(e^-B))}]
=　　　　―――――――――――――――――――――
[1+{((e^A)-(e^-A))/((e^A))+(e^-A))}{((e^B)-(e^-B))/((e^B))+(e^-B))}]

　[{((e^A)-(e^-A))((e^B)+(e^-B))+((e^A))+(e^-A))((e^B))-(e^-B))}
　　　　　　　　/{((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))}]
=　　　　　―――――――――――――――――――――
　[((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))+((e^A)-(e^-A))((e^B)-(e^-B))]
　　　　　　　　/{((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))}]

　((e^A)-(e^-A))((e^B)+(e^-B))+((e^A))+(e^-A))((e^B))-(e^-B))
=　　　　　―――――――――――――――――――――
　((e^A))+(e^-A))((e^B))+(e^-B))+((e^A)-(e^-A))((e^B)-(e^-B))

　　　2[(e^(A+B))-(e^-(A+B))]
=―――――――――――――
　　　2[(e^(A+B))+(e^-(A+B))]

∴
　tanh(A+B)=[tanhA+tanhB]/[1+tanhAtanhB]　　。