宜しくお願い致します。
超準解析での標準部分定理の証明で分かりません。
Rは実数体でR*は超実数体とします。R⊂R*でR*はRの真の順序拡大体になってます。
x∈R*でxが有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<rが成り立つです。
x,y∈R*において,x~yはxとyが無限に近い(0<∀r∈R,|x-y|<r)を意味する記号です。
[定理]任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。
[証]
一意性の証明は略す。
存在性を示す。
xを有限超実数とする。
X={s∈R;s<x}と置くと,Xは空でなく,上に有界である。実際,或る実数にrに対して|x|<r(∵xは有限超実数),即ち-r<x<rが成り立つから,-rはXに属し,rはXの一つ上界である。そこでXの上限をtとする。任意の正実数rに対し,
x≦t+r。従って,x-t≦r
t-r≦x。従って,-(x-t)≦r
となるからx-t~0即ち,x~t (終)
となっているのですがt∈Rである保証はありませんよね。t∈R*\Rの場合でないとどうして言い切れるのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Rは完備順序体だからRの部分集合Xの上限はRに属する。
Xに属するわけではないが。Rの完備性を仮定しないなら、採用している公理系を補足してください。
参考URLによれば、Rの完備性の代わりに標準部分定理を公理としても同値のようです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96% …
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96% …
有難うございます。
Rは完備順序体でした。
で私が
完備の定義を
「全順序集合(A,≦)に於いて,(A,≦)は「完備である」
⇔(def)
(A⊃B:上に有界⇒∃sup{B,os(A,≦)})∧(A⊃B:下に有界⇒∃inf{B,(A,≦)})=真」
と解釈しておりました。正しくは
「全順序集合(A,≦)に於いて,(A,≦)は「完備である」
⇔(def)
(A⊃B:上に有界⇒∃sup{B,os(A,≦)}∈(A,≦))∧(A⊃B:下に有界⇒∃inf{B,(A,≦)}∈(A,≦))=真」
だったのですね。
それならt∈Rでなければなりませんね。
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