http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%B7%9A
によると、
三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂点AとBCの中点を結ぶ中線の長さを m とすると、スチュワートの定理より以下の式が成り立つ。
4m^2+a^2=2(b^2+c^2)
∴m=√(2b^2+2c^2-a^2)/2
となることは分かります。次に、
三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂角Aの二等分線とBCの交点を結ぶ線分の長さを n とするとき、この n をa,b,cのきれいな式で表したいのですが、どのような式になるのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
∠A=θ、∠Aの二等分線とBC の交点をNとすれば、
面積公式から
bnsinθ+cnsinθ=bcsin2θ=2bcsinθcosθ
sinθでわって、(b+c)n=2bccosθ・・・☆
一方、BN:NC =c:bより、BN=ck、NC=bk
とすれば、BN+NC=aからk=a/(b+c)
よって、NC =ab/(b+c)となり、△ACNで余弦定理を
使い cosθ={b^2+n^2-a^2b^2/(b+c)^2}/2bn
これを☆に代入して 整理 nについて解けば
n={1/(b+c)}√{bc(a+b+c)(-a+b+c)}
No.4
- 回答日時:
No.2
- 回答日時:
「角の二等分線定理」というものがあります。
△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとすれば、
AB×AC = BD×DC + AD^2
が成り立ちます。
スチュワートの定理と、AB:AC = BD:DCから導かれるはずですので
やってみてはいかがでしょうか?
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