『ばねの質量』を考慮に加えた単振動の振動数解析

ばねの一端に質量ｍの物体を付け単振動させる。ばね自身の質量をＭとする。
このときの振動数は質量ｍ＋Ｍ/3の質点を付け、ばねの質点を無視した時の振動と同じである事を示せ。
但し、ばねと質点は同じ位相で伸び縮みするものとする。

それぞれの運動方程式を求めようとしたのですが、どうも「ばね自身の質量がある場合」での運動方程式が違っているようで
その先に進めません。。。

分かる方は解き方でけでもよろしくお願いします。。

No.1 ベストアンサー 回答者： nktnystk 回答日時： 2008/02/16 02:15

mixture518さん　こんばんは。

以下のように考えてはどうでしょうか。
ばねの自然長をLとし、均質だとするとその線密度σ=M/Lとなります。
ここで、おもりが振動の中心を通過するときの速さをV0とし、ばねを微小な区間にΔx(その質量σΔx)に分割します。ばねの固定点付近の微小部分ではその速さは０、おもり付近微小部分ではほぼV0の速さをもちます。その間の微小部分の速さは固定点からの距離xに比例します。次に各微小部分の運動エネルギーの和を求めますが、分割を無限に多くしていきますと、この和はxの積分で以下のように求められます。

∫[0,L](1/2)(M/L)(V0x/L)^2 dx = (1/2)(M/3)(V0)^2

したがって、これとおもりの運動エネルギーの和は(1/2)(m+M/3)(V0)^2となり、質量が０のばねに質量(m+M/3)のおもりがついた場合と同じになります。

この回答へのお礼

とても分かりやすい丁寧な説明で、理解ができました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/02/16 20:42