三角方程式と三角不等式について

趣味で数学の問題を解いているのですが、以下の三角方程式・三角不等式がどうしても解りません、どなたかご教授お願いします。

θの範囲は２問とも 0°<= θ <= 180° です。

1.(√2sinθ-1)(2cosθ+1)=1

2.(2sinθ-√3)(2cosθ+√2)>0

２問とも、とりあえず式を展開してみたのですが、展開した後どのように考えればよいか解りませんでした…。
２番については、積の結果が０より大きいので、(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)がそれぞれ正の場合、負の場合になるのを利用して式を作ってみましたが解りませんでした…。

No.5 回答者： muttysatty 回答日時： 2008/02/19 02:50

Ano1です

Ano3さん　ご指摘の通り
１４５は１３５の間違いです

なお１と２がならんである質問だから
レベルから考えて
１の問は　訂正を要するのは明らか

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/02/17 07:07

1.

与式を sinθ =… と変形して (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1 へ代入すると、
{(cosθ) + 1} {4 (cosθ)^3 - (cosθ) + 1} = 0 と変形されます。

方程式 4 x^3 - x + 1 = 0 が解ければよい訳ですが、
そのために、x = (√3) {e^y - e^(-y)} / 2 と置いてみます。

何故この様に置いたかは、ナイショです。
興味があれば、「双曲線関数」「sinh」「３倍角」などを検索してみてください。

ともあれ、この置き換えによって、
方程式は {e^(3y) - e^(-3y)} / 2 = -3√3 と変形でき、
二次方程式を解いて e^(3y) = -3√3±2√7 が求まります。

真数条件から y = (1/3) log(-3√3+2√7) を採って
上の式に代入すれば、x の値が得られます。

この値は |x| < 1 の範囲にあるので、x = cosθ となる θ が在って、
元の式 (√2 sinθ - 1) (2 cosθ + 1) = 1 から sinθ の符号を定めれば
θ がひとつ求まることになります。

この θ を代数的に書き表す方法は無いので、答えは
cosθ = {(√3)/2} {(-3√3+2√7)^(1/3) - (-3√3+2√7)^(-1/3)}　ただし π < θ < 2π、
または、θ = -π。
とでも書いておくしかありません。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/02/16 13:25

1は

＞1.(√2sinθ-1)(2cosθ+1)=1
でなく
1.(√2sinθ-1)(2cosθ+1)=0
の間違いだと思いますが、如何がですか？

そうなら
sinθ=1/√2とcosθ=1/2となる
θ（0°≦θ≦180°）を求めるだけです。

2.
＞(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)がそれぞれ正の場合、負の場合になるのを利用して式を作ってみましたが解りませんでした…

間違っていてもいいですから解答を補足に書いて下さい。
そして
＞式を作ってみましたが解りませんでした…。
分からなかった箇所をどう分からないのか、具体的に補足に書いて質問して下さい。
＞(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)が...正の場合
と
＞(2sinθ-√3)と(2cosθ+√2)が...負の場合
の場合のθ（0°≦θ≦180°）がどうなるか、
補足に書いて下さい。

最終的な答えは#1さんの
＞答え　　　６０＜＜１２０　，　１４５＜≦１８０
ではなく
60°＜θ＜120°,135°＜θ≦180°
ですね。
A#1の２の答はは多分、早とちりミスでしょう。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/16 08:45

1. はグラフを書いてみると θ < πでは成立しないことがわかる。

式変形での解法は思い付かない。

No.1 回答者： muttysatty 回答日時： 2008/02/16 08:24

２について

、(2sinθ-√3＞０かつ2cosθ+√2＞０ゆえに
sinθ＞√3／２　　and　　cosθ＞ー１／√2
単位円でもグラフでもいいから描いて読み取るといい
６０＜＜１２０　and　０≦＜１４５　then　６０＜＜１２０
or ともに負ゆえに
0≦＜６０，１２０＜≦１８０　
and　１４５＜≦１８０　then　１４５＜≦１８０
答え　　　６０＜＜１２０　，　１４５＜≦１８０

１は　＝０の問だとおもいますが