数列{an}が、a1=1/2 a2=1/6
[an+a(n+1)+a(n+2)]/3=1/[n(n+3)]
を満たしている。
(1)a3 ,a4を求めよ。
(2)anを推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
上のような問題に出くわし、困っています…。
(1)は、私の計算が正しければ、
a3=1/12 ,a4=1/20
となり、
一般項は、an=1/[n^2+n]
と推定できると思うのです…が、どう証明をしていいのかが分かりません。
読みにくくて申し訳ないですが、どなたか詳しい方、回答お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
計算も推定もあっています。
a_n = 1/[n(n+1)] (n = 1,2,..)を
数学的帰納法で証明するために、まず
n = 1, 2 で満たすことを確認(これは明らか)。
次に、n = k, k+1 のときに正しいことを仮定すると、
a_k = 1/[k(k+1)], a_(k+1) = 1/[(k+1)(k+2)].
[a_n+a_(n+1)+a_(n+2)]/3 = 1/[n(n+3)] に n = kを代入して
a_(k+2) について整理すると、
a_(k+2) = 1/[(k+2)(k+3)]になるはず。
これにより、
n = 1, 2で成り立つ⇒n = 3でも成り立つ。
n = 2, 3で成り立つ⇒n = 4でも成り立つ。
……
という連鎖が作れるので、すべての自然数につき証明されたことになります。
ちなみに、計算を簡単にするためのコツですが、部分分数分解を用いるとよいでしょう。
1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
1/[n(n+3)] = [1/n - 1/(n+3)]/3
この変形をほどこすと、項がキャンセルされてとても楽に解けます。
部分分数分解の方法については
http://kisuke.hit.ac.jp/math/e1(19-28).pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction
などを参照。
n = k, k+1の2項で仮定をするところがポイントだったんですね☆★
とても分かり易い回答でした(・ω・)
これですっきりして、あさっての国立2次に臨めます!笑
早速の回答ありがとうございました!
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