お世話になります。
【問題】
行列
( a b )
( c d )
が、2点間の距離を変えない1次変換であるとき、ad - bc の値を求めよ。
【正解】
ad - bc = ±1
【自分の解答】
2点をA ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )、行列によって移される点をA' , B' とすると
A' ( a*x1 + b*y1 , c*x1 + d*y1 )
B' ( a*x2 + b*y2 , c*x2 + d*y2 )
となる。
条件より
( A , B 間の距離 ) = ( A' , B' 間の距離 )
なので
( A , B 間の距離 )^2 = ( A' , B' 間の距離 )^2
よって
( x2 - x1 )^2 + ( y2 - y1 )^2
= { ( a*x2 + b*y2 ) - ( a*x1 + b*y1 ) }^2 + { ( c*x2 + d*y2 ) - ( c*x1 + d*y1 ) }^2
=( a^2 + c^2 )( x2 - x1 )^2 + 2( ab + cd )( x2 - x1 )( y2 - y1 ) + ( b^2 + d^2 )( y2 - y1 )^2
∴
a^2 + c^2 = 1
ab + cd = 0
b^2 + d^2 = 1
(ここから不明)
【質問】
途中まで上のように頑張ってみましたが、正しいかわかりません。
正しければ続きかヒントを、間違いであれば修正かヒントを下さいませんか。
よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
1つの方法として、式変形を利用するものがあります。
(ad-bc)^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+bc)^2
しかし、これだけでは、
ad-bc=±1
という必要条件が求められるだけで十分とはいえないでしょう。
十分性をいうには、それぞれの符号で成り立つことをいわなければなりませんが、式が複雑になってあまり得策ではないようです。
もう1つの方法として、変数変換を用いる方法があります。
a^2 + c^2 = 1
b^2 + d^2 = 1
この2つの関係から、a,b,c,dを媒介変数θとφを使って次のように表すことができます。
a=cosθ、c=sinθ
b=cosφ、d=sinφ
この置換を使って、
ab + cd = 0
の関係を書き直しますと、
ab + cd =cosθcosφ+sinθsinφ=cos(θ-φ)=0
∴θ-φ=(2n+1)π/2 (n:整数)
とθとφの関係が得られます。
ここで、値を求める式 ad-bc を変形しますと、
ad-bc=cosθsinφ-sinθcosφ=sin(φ-θ)
=sin{-(2n+1)π/2}=±1
となります。
ここまでの操作はすべて必要十分条件を使ったものですから、
∴ad-bc=±1
が求める必要十分条件となります。
詳しく説明していただき、ありがとうございます。
実にわかりやすかったです。
なるほど、必要十分性までは考えていませんでした。
非常に参考になりました。
No.3
- 回答日時:
例えば、 (a,c) = (cos s, sin s), (b,d) = (cos t, sin t) とおきますと、
条件は cos(s-t) = 0 と非常に簡単になります。
そして、 ad-bc = sin(s-t) ですね。
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