KがQの3次拡大体⇔√D∈Q
ただし
Q:有理数体
D:=-(4p^3+27q^2)
と教えていただきました。
虚数解が存在する時にはKがQの6次拡大体になることは明白なので
以下与式が3実解を持つ(0<D)とします。
A:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の実数部
B:=(-q/2+i√D/6/√3)^(1/3)の虚数部
(ただし^(1/3)は複素平面上偏角が正で最小のものとする)
与式の1実解は
α=2A
と表され
他の実解の1つは
β=-A-√3B
と表される。
-q/2+i√D/6/√3=(A+iB)^3より
A^3-3AB^2=-q/2
3A^2B-B^3=√D/6/√3
なので
β=-α/2-√D/(2α^2-q/α)/2
従って
√D∈Q⇒KはQの3次拡大体
ということは分かりました。
質問は
KがQの3次拡大体⇒√D∈Q
の理由を教えてください。
√D∈Q(α)⇒√D∈Q
を示すことが出きればいいと思うのですが・・・
なお、前回の同じ質問は間違っていたので回答しないでください。
よろしくお願いします。
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